Инъективное метрическое пространство

Инъективное метрическое пространство — метрическое пространство, обладающее определёнными свойствами; такими пространствами являются вещественная прямая, все метрические деревья, $L^{\mathrm{\infty }}$ и другие.

Определение

Полное геодезическое метрическое пространство $X$ называется инъективным (или гипервыпуклым), если произвольное семейство шаров в $X$ имеет общую точку, если любые два шара в этом семействе пересекаются.

Связанные определения

• Пространство $X$ называется $n$-гипервыпуклым если любое семейство из $n$ закнутых шаров $\overline{B}[x_i,r_i]$ таких, что $r_i+r_j\ge |x_i-x_j{|}_X$ имеет общую точку.
  • $2$-гипервыпуклое пространство также называется выпуклым.
• Пространство $X$ называется конечно или счётно гипервыпуклым если тоже условие выполняется для любого конечного (соответственно счётного) семейства шаров.

Примеры

• Вещественная прямая, а также любой замкнутый интервал инъективвен.
• Пространство ограниченных функций на любом пространстве с sup-нормой инъективно.
• Любое метрическое дерево инъективно.
• Пространство ${\ell }^1$ является 3-гипервыпуклым, но не 4-гипервыпуклым.
• Пространство Урысона $𝕌$ является конечно гипервыпуклым, но не счётно гипервыпуклым.

Свойства

• В инъективном пространстве радиус любого множества равен половине его диаметра.
  • Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют самой сильной форме теоремы Юнга.
• Инъективное пространство является полным.
• Любое короткое отображение инъективного пространства конечного диаметра в себя фиксирует точку.
• Метрическое пространство является инъективным тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и коротких отображений по отношению к экстремальным мономорфизмам.
  • Иначе говоря, пространство $X$ является инъективным, если для любого короткого отображения $f:A\to X$ и изометрического вложения $\varphi :A\to B$ существует короткое отображение $g:B\to X$ такое, что $f=g\circ \varphi$.
• Любое метрическое пространство вкладывается в так называемую инъективную оболочку — минимальное инъективное пространство, содержащее исходное. (Инъективная оболочка аналогична выпуклой оболочке.)
  • Инъективная оболочка данного метрического пространства определяется однозначно с точностью до изометрии, коммутирующей с вложением.
• Конечно гипервыпуклое ограниченно компактное пространство инъетивно.
• Полное 4-гипервыпуклое пространство конечно гипервыпукло.

См. также

• Категория метрических пространств

Ссылки

• Шаблон:Статья