Теорема Юнга

Теорема Юнга — неравенство на диаметр и радиус множества точек в любом евклидовом пространстве. Названо в честь Генриха Юнга.

Формулировка

Пусть $K\subset {ℝ}^n$ — компактное множество диаметра $d$; то есть,

$d=\underset{p,q\in K}{\max }\{\Vert p-q\Vert \}$

Тогда существует замкнутый шар с радиусом

$r\le d\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}},$

который содержит $K$. Равенства достигается для правильного n-симплекса.

2-мерный случай

Наиболее распространенным является случай плоскости, то есть $n=2$. В этом случае неравенство утверждает, что существует окружность, охватывающая все точки, радиус которых удовлетворяет

$r\le \frac{d}{\sqrt{3}}.$

Это неравенство достигается для равностороннего треугольника

$r=\frac{d}{\sqrt{3}}.$

Вариации и обобщения

Общие метрические пространства

Для любого ограниченного множества $K$ в любом метрическом пространстве выполняется

$\frac{d}{2}\le r\le d$

Первое неравенство следует из неравенства треугольника для центра шара и двух диаметральных точек. Второе следует из того, что шар радиуса d, центрированный в любой точке $K$, будет содержать все $K$.

В дискретном метрическом пространстве, то есть пространстве, в котором расстояния между любой парой различных точек равны достигается второе неравенство. Первое неравенство достигается в инъективных пространствах, таких как расстояние городских кварталов на плоскости.

См. также

• Неравенство Юнга

Литература

• Шаблон:Книга