Метрическое дерево

Метрическое дерево (или $ℝ$-дерево) — определённый тип метрических пространств. Являются простейшими примерами гиперболических пространств в смысле Громова; их можно определить как 0-гиперболические пространства в смысле Громова, то есть все их треугольники являются ноль-тонкими.

Они возникают естественным образом в геометрической теории групп и теории вероятностей.

Определение

Геодезическое пространство $X$ является метрическим деревом, если это пространство, где каждый треугольник является треногой; иначе говоря, если для каждого треугольника $[xyz]$ найдется точка $p$, лежащая на всех трёх геодезических $[xy],[yz],[zx]$.

Свойства

• Геодезическое пространство $X$ является метрическим деревом тогда и только тогда, когда для любых четырёх точек $p,q,x,y\in X$ выполняется следующее неравенство:

  $|p-q{|}_X+|x-y{|}_X⩽\max \{|p-x{|}_X+|q-y{|}_X,|p-y{|}_X+|q-x{|}_X\},$

где $|p-q{|}_X$ обозначает расстояние между точками $p$ и $q$ в метрическом пространстве $X$.

• Если $X_n$ — последовательность ${\delta }_n$-гиперболических пространств, и ${\delta }_n\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$, то ультрапредел $X_n$ является метрическим деревом.
  • В частности, конус на бесконечности $\delta$-гиперболического пространства является метрическим деревом.

Примеры

• Если $X$ — это граф с комбинаторной метрикой, тогда это метрическое дерево, тогда и только тогда, когда граф $X$ — дерево (то есть не имеет циклов).
• Вещественная прямая, к каждой точке которой приклеено по вещественной прямой.