Цепная гомотопия

Цепна́я гомото́пия — вариация понятия «гомотопия» в алгебраической топологии и гомологической алгебре

Определение

Пусть $C$ — цепной комплекс модулей (то есть семейство модулей $C_n$ и модульных гомоморфизмов $d_n:C_n\to C_{n-1}$), $f$ и $g$ — цепные отображения комплекса $C$ в комплекс $C^{\prime }$ (то есть такие гомоморфизмы $f_n$ что $d_n{f}_n=f_{n-1}{d}_n$).

Цепной гомотопией между отображениями $f$ и $g$ называется такое семейство гомоморфизмов $s_n:C_n\to C{\text{'}}_{n+1}$, что

$s_{n-1}{d}_n+d{\text{'}}_{n+1}{s}_n=f_n-g_n.$

Диаграмма для цепной гомотопии

Диаграмма для цепной гомотопии

Свойства

• Если отображения $f$ и $g$ цепно гомотопны, то индуцированные отображения на гомологиях $H_n(C)\to H_n(C^{\prime })$ равны (где $H_n(C)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{d}_n/\mathrm{I}\mathrm{m}{d}_{n+1}$). В самом деле, пусть $c\in C_n$ — цикл, то есть элемент из $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{d}_n$. Тогда $d_n(c)=0$. Так как $f$ и $g$ цепно гомотопны, то

  $f_n(c)-g_n(c)=s_{n-1}{d}_n(c)+d{\text{'}}_{n+1}{s}_n(c)=d{\text{'}}_{n+1}{s}_n(c)$,

то есть отличаются на границу (элемент $\mathrm{I}\mathrm{m}d{\text{'}}_{n+1}$).

• Для большинства теорий гомологий доказывается, что гомотопные непрерывные отображения топологических пространств $f,g:X\to Y$ индуцируют цепно гомотопные отображения комплексов $C(X)\to C(Y)$ и, по доказанному, одинаковые отображения групп гомологий $H(X)\to H(Y)$ (выполняется аксиома гомотопической инвариантности).

Литература

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Шаблон:М: МЦНМО, 2005
• Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — Шаблон:М: Наука, 1989
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Шаблон:М: Мир, 1976
• Маклейн С. Гомология. — Шаблон:М: Мир, 1966
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Шаблон:М: Мир, 1971