Несчётное множество

Несчётное мно́жество — бесконечное множество, не являющееся счётным.

Некоторые эквивалентные определения несчётности для множества $X$:

• не существует инъективного отображения $X$ во множество натуральных чисел $\mathbb{N}$;
• $X$ не пустое, и для каждой нумерованной последовательности элементов $X$ существует по крайней мере один элемент $X$, не входящий в неё;
  • иными словами: $X$ непусто, и не существует сюръективного отображения множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ на $X$;
• мощность $X$ не является ни конечной, ни равной ${\mathrm{\aleph }}_0$.

Данные определения являются эквивалентными в системе Цермело — Френкеля без использования аксиомы выбора. Доказательство эквивалентности данных определений со следующим:

• мощность $X$ строго превышает ${\mathrm{\aleph }}_0$

— требует привлечения аксиомы выбора.

Надмножество несчётного множества несчётно. Простейший пример несчётного множества — континуум, вопрос о существовании несчётных множеств с мощностью менее мощности континуума составляет содержание континуум-гипотезы.

Литература

• Шаблон:Книга:Математическая энциклопедия