Оптическая теорема

Оптическая теорема — соотношение в волновой теории рассеяния, связывающее амплитуду рассеяния $f(\theta )$ и сечение рассеяния $\sigma$.

Оптическая теорема формулируется следующим образом:

$\sigma =\frac{4\pi }{k}\mathrm{Im}f(0),$

где $f(0)$ — амплитуда рассеяния вперёд, $\sigma$ — полное сечение рассеяния, $k$ — волновой вектор падающей волны. Так как теорема является следствием закона сохранения энергии (в квантовой механике — вероятности), то она является довольно общим утверждением, имеющим широкую область применения.

Более общий вид теоремы:

$f(𝐧,{𝐧}^{\prime })-f^{*}({𝐧}^{\prime },𝐧)=\frac{ik}{2\pi }\int f(𝐧,{𝐧}^{″})f^{*}({𝐧}^{\prime },{𝐧}^{″})d{\omega }^{″}.$

Доказательство

Асимптотический вид амплитуды рассеяния на больших расстояниях:

$\psi \approx e^{ikr(𝐧,{𝐧}^{\prime })}+\frac{1}{r}f(𝐧,{𝐧}^{\prime })e^{ikr},$

где $𝐧$ — направление падения частиц, ${𝐧}^{\prime }$ — направление рассеяния.

Любая линейная комбинация функций $\psi$ с различными направлениями падения также представляет некий возможный процесс рассеяния. Умножив $\psi$ на произвольные коэффициенты $F(𝐧)$ и проинтегрировав по всем направлениям $𝐧$, получим такую линейную комбинацию в виде интеграла

$\int F(𝐧)e^{ikr(𝐧,{𝐧}^{\prime })}d\mathrm{\Omega }+\frac{e^{ikr}}{r}\int F(𝐧)f(𝐧,{𝐧}^{\prime })d\mathrm{\Omega }.$

Поскольку расстояние $r$ велико, то множитель $e^{ikr(𝐧,{𝐧}^{\prime })}$ в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора $𝐧$. Значение интеграла определяется потому в основном областями вблизи тех значений $𝐧$, при которых показатель экспоненты имеет экстремум ($𝐧\pm {𝐧}^{\prime }$). В каждой из этих областей множитель $F(𝐧)\approx F(\pm {𝐧}^{\prime })$ можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование даёт

$2\pi iF(-{𝐧}^{\prime })\frac{e^{-ikr}}{kr}-2\pi iF({𝐧}^{\prime })\frac{e^{ikr}}{kr}+\frac{e^{ikr}}{r}\int f(𝐧,{𝐧}^{\prime })F(𝐧)d\mathrm{\Omega }.$

Перепишем это выражение в более компактном виде, опустив общий множитель $2\pi i/k$:

$\frac{e^{-ikr}}{r}F(-{𝐧}^{\prime })-\frac{e^{ikr}}{r}\hat{S}F({𝐧}^{\prime }),$

где

$\hat{S}=1+2ik\hat{f},$

а $\hat{f}$ — интегральный оператор:

$\hat{f}F({𝐧}^{\prime })=\frac{1}{4\pi }\int f(𝐧,{𝐧}^{\prime })F(𝐧)d\mathrm{\Omega }.$

Первый член волновой функции описывает сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящихся и расходящихся волнах. Другими словами, эти волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния $\hat{S}$ должен быть унитарным, то есть

$\hat{S}{\hat{S}}^{+}=\hat{1},$

или (с учётом выражения для $\hat{S}$):

$\hat{f}-{\hat{f}}^{+}=2ik\hat{f}{\hat{f}}^{+}.$

Наконец, учитывая определение $\hat{f}$, получаем утверждение теоремы:

$f(𝐧,{𝐧}^{\prime })-f^{*}({𝐧}^{\prime },𝐧)=\frac{ik}{2\pi }\int f(𝐧,{𝐧}^{″})f^{*}({𝐧}^{\prime },{𝐧}^{″})d{\mathrm{\Omega }}^{″}.$

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика