Теоремы Кельвина

Под теоре́мой Ке́львина в гидродинамике обычно подразумевают основную теорему Кельвина, однако также известны ещё две другие теоремы Томсона (Кельвина).

Теорема Кельвина о безвихревом движении

В 1849 году Уильям Томсон доказал теорему о минимальной кинетической энергии жидкости:

Шаблон:Рамка если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения. Шаблон:Конец рамки

Доказательство первой теоремы Кельвина

Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорость в безвихревом движении потенциальна (v = gradφ) и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю, как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, пусть ΔЧто-то = Что-то_вихр. − Что-то_{безвихр.}. Тогда для разности кинетических энергий можно записать:

$\mathrm{\Delta }T=\frac{\rho }{2}\underset{\tau }{\iiint }[(𝐕+\mathrm{\Delta }𝐕{)}^2-V^2]d\tau =\rho \underset{\tau }{\iiint }𝐕\mathrm{\Delta }𝐕d\tau +\frac{\rho }{2}\underset{\tau }{\iiint }|\mathrm{\Delta }𝐕{|}^{2}d\tau ,$

где ρ — плотность жидкости, а τ — жидкий объём. Рассмотрим далее только первый интеграл справа:

$\underset{\tau }{\iiint }𝐕\mathrm{\Delta }𝐕d\tau =\underset{\tau }{\iiint }\mathrm{grad}\phi \cdot \mathrm{\Delta }𝐕d\tau ,$

а, так как div(φa) = φ diva + gradφ·a, интеграл можно преобразовать так:

$\underset{\tau }{\iiint }𝐕\mathrm{\Delta }𝐕d\tau =\underset{\tau }{\iiint }\mathrm{grad}\phi \cdot \mathrm{\Delta }𝐕d\tau =\underset{\tau }{\iiint }\mathrm{div}(\phi \mathrm{\Delta }𝐕)d\tau -\underset{\tau }{\iiint }\phi \mathrm{div}(\mathrm{\Delta }𝐕)d\tau =\underset{\sigma }{\iint }\phi (\mathrm{\Delta }𝐕{)}_{n}d\sigma -\underset{\tau }{\iiint }\phi \mathrm{\Delta }(\mathrm{div}𝐕)d\tau ,$

где σ — поверхность, ограничивающая объём τ, а индекс n обозначает нормальную составляющую вектора. Из условия теоремы следует, что на поверхности σ вихревое и безвихревое движения совпадают, т. е. ΔV = 0, кроме того по условию несжимаемости div V = 0. Таким образом, в последнем равенстве все слагаемые равны нулю и для разности кинетических энергий получается:

$\mathrm{\Delta }T=\frac{\rho }{2}\underset{\tau }{\iiint }|\mathrm{\Delta }𝐕{|}^{2}d\tau >0,$

из чего и следует теорема Кельвина.

Кинематическая теорема Кельвина

Кинематическая теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени. Формулировка теоремы такова:

Шаблон:Рамка частная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому Шаблон:Comment контуру равна циркуляции ускорения по этому же контуру. Шаблон:Конец рамки

Доказательство второй теоремы Кельвина

Вычислим частную производную по времени от циркуляции скорости по произвольному контуру C, не делая для начала предположения о его замкнутости.

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\underset{C}{\int }𝐕\mathit{\delta }𝐫=\underset{C}{\int }\frac{d}{dt}(𝐕\mathbf{\cdot }\mathit{\delta }𝐫)=\underset{C}{\int }\frac{d𝐕}{dt}\cdot \mathit{\delta }𝐫+\underset{C}{\int }𝐕\mathbf{\cdot }\frac{d}{dt}\mathbf{(}\mathit{\delta }𝐫\mathbf{)}=\\ =\underset{C}{\int }\frac{d𝐕}{dt}\cdot \mathit{\delta }𝐫+\underset{C}{\int }𝐕\cdot \delta \left(\frac{d𝐫}{dt}\right)=\underset{C}{\int }\frac{d𝐕}{dt}\cdot \mathit{\delta }𝐫+\underset{C}{\int }\delta \left(\frac{V^2}{2}\right).\end{array}$

Очевидно, при замыкании контура последний интеграл обратится в нуль. Таким образом:

$\frac{d}{dt}{\mathrm{\Gamma }}_C(𝐕)=\frac{d}{dt}\underset{C}{\oint }𝐕\cdot \mathit{\delta }𝐫=\underset{C}{\oint }\dot{𝐕}\cdot \mathit{\delta }𝐫={\mathrm{\Gamma }}_C(\dot{𝐕}).$

Теорема Кельвина о баротропной жидкости

Теорему Кельвина о баротропной жидкости также называют основной теоремой Кельвина, которая обосновывает возможность существования безвихревого движения:

Шаблон:Рамка при движении Шаблон:Comment идеальной жидкости под действием потенциальных сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется. Шаблон:Конец рамки

Доказательство третьей теоремы Кельвина

Теорема легко доказывается на основе предыдущей теоремы подстановкой в правую часть выражения для ускорения в случае потенциальных сил: $\dot{𝐕}=-\mathrm{grad}\mathrm{\Pi }$:

$\frac{d}{dt}{\mathrm{\Gamma }}_C(𝐕)=\frac{d}{dt}\underset{C}{\oint }𝐕\cdot \mathit{\delta }𝐫=\underset{C}{\oint }\dot{𝐕}\cdot \mathit{\delta }𝐫=-\underset{C}{\oint }\mathrm{grad}\mathrm{\Pi }\cdot \delta 𝐫=-\underset{C}{\oint }\delta \mathrm{\Pi }=0,$

следовательно, $\mathrm{\Gamma }$ — постоянная величина.

Теорема была сформулирована и доказана У. Томсоном в 1869 году. Дифференциальной формой Теоремы Кельвина является уравнение вихря.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга