Функция-оригинал

Функция-оригинал — фундаментальное понятие в операционном исчислении; для того, чтобы функция $f:ℝ\to ℂ$ могла называться оригиналом, она должна удовлетворять трем условиям:

1. $f$ удовлетворяет условию Гёльдера почти всюду на вещественной прямой $ℝ$, притом на произвольном конечном интервале $(a;b)\subset ℝ$ множество точек, в которых указанное условие не выполняется, конечно, притом в этих точках она должна претерпевать разрыв 1-го рода. Формально, для произвольного $t$, не относящегося к упомянутому множеству, должны существовать положительные постоянные $A,\alpha ⩽1,h_0$, такие, что $|f(t+h)-f(t)|⩽A|h{|}^{\alpha }$ для произвольного $h\in [-h_0;h_0]$.
2. $f(t)=0$ при $t<0$.
3. на функцию $f(t)$ накладывается определённое ограничение — она должна возрастать не быстрее показательной функции. Формально, для этой функции должны существовать постоянные $M>0,s_0⩾0$ такие, что $|f(t)|<M{e}^{s_{0}t}$ для произвольного $t\in ℝ$.

Для большинства физических задач все эти три условия соблюдены. Более того, с использованием функции Хевисайда $H(t)$ можно получить функцию-оригинал из функции, удовлетворяющей только условиям 1 и 3.