Дискретное преобразование Фурье над конечным полем

Шаблон:Нет ссылок Дискретное преобразование Фурье над конечным полем — один из видов дискретного преобразования Фурье для вектора $\overrightarrow{v}=(v_0,v_1,\dots ,v_{n-1}),v_i\in GF(q^m)$ над конечным полем $GF(q^m)$, определяемое как вектор $\overrightarrow{V}=(V_0,V_1,V_2,\dots ,V_{n-1}),V_j\in GF(q^m)$, где $n$ делит $q^m-1$ при некотором целом положительном $m$, с компонентами, вычисляемыми как

$V_j=\sum _{i=0}^{n-1}{\alpha }^{ij}{v}_i,j=0,1,\dots ,n-1,$

где $\alpha$ — элемент порядка $n$ в поле $GF(q^m)$ (то есть такой, что ${\alpha }^n=1,{\alpha }^k\ne 1,k<n$).

Индекс $i$ можно назвать временем, а $\overline{v}$ — временной функцией или сигналом. Аналогично индекс $j$ — частотой, а $\overline{V}$ — частотной функцией или спектром.

Обратное преобразование в данном случае определяется таким образом

$v_i=(n{)}^{-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\alpha }^{-ij}{V}_j,i=0,1,\dots ,n-1,$

где $(n)$ интерпретируется как элемент поля $GF(q^m)$, то есть $(n)=n\cdot e$, где $e$ — нейтральный элемент поля по умножению.

См. также

• Конечное поле
• Многочлен над конечным полем
• Дискретное преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Дискретное комплексное преобразование
• Оконное преобразование Фурье