Вектор-функция

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве $𝕍$ двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

• одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в $𝕍$ некоторую кривую;
• m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в $𝕍$, вообще говоря, m-мерную поверхность;
• векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на $𝕍$.

Вектор-функция одной скалярной переменной

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной $𝐫(t)$ отображает некоторый интервал вещественных чисел $t_1⩽t⩽t_2$ в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты $\widehat{𝐢},\widehat{𝐣},\widehat{𝐤}$, мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

$𝐫(t)=x(t)\widehat{𝐢}+y(t)\widehat{𝐣}+z(t)\widehat{𝐤}$

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Предел вектор-функции

Вектор-функция $𝐫(t)$ имеет предел ${𝐫}_{\mathrm{𝟎}}$ при $t\to t_0$ (или при $t\to \mathrm{\infty }$), если

$\underset{t\to t_0}{\lim }|𝐫(t)-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}|=0(\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }|𝐫(t)-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}|=0)$

(здесь и далее $|𝐯|$ обозначает модуль вектора $𝐯$). Этот предел можно переписать без модуляШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\underset{t\to t_0}{\lim }𝐫(t)={𝐫}_{\mathrm{𝟎}}(\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }𝐫(t)={𝐫}_{\mathrm{𝟎}}).$

Другими словами, это означает, что геометрически переменный вектор $𝐫(t)$ при $t\to t_0$ стремится к постоянному вектору ${𝐫}_{\mathrm{𝟎}}$ по длине и по направлениюШаблон:Sfn.

Предел вектор-функции

Выберем неподвижную точку $O$, в которую поместим начало переменного вектора $𝐫(t)=\overrightarrow{OR}(t)$ (см. рисунок справа). В случае, когда при $t\to t_0$ подвижный конец $R$ переменного вектора $\overrightarrow{OR}(t)$ стремится к неподвижной точке $R_0$, неподвижный вектор $\overrightarrow{O{R}_0}={𝐫}_{\mathrm{𝟎}}$ есть предел переменного вектора $\overrightarrow{OR}(t)=𝐫(t)$. Разность векторов $𝐫(t)-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}$ есть вектор $\overrightarrow{R_{0}R}(t)$, а модуль последнего бесконечно малШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьВ случае, когда у вектор-функции $𝐫(t)$ её модуль $|𝐫(t)|$ бесконечно мал, сам вектор $𝐫$ называется бесконечно малымШаблон:SfnШаблон:Sfn. Порядком малости такого вектора называется порядок малости его модуля $|𝐫|$Шаблон:Sfn.

Непрерывность вектор-функции определяется такими же способами, как непрерывность обычной скалярной функции (то есть следующим образомШаблон:Sfn:

$𝐫(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }𝐫(t+\mathrm{\Delta }t)$),

при этом непрерывность вектор-функции можно наглядно выразить как сплошную линию её годографаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Вектор-функция $𝐫(t)$ — непрерывная (векторная) функция аргумента $t$ тогда и только тогда, когда координаты вектора — тоже непрерывные (скалярные) функции от $t$Шаблон:Sfn.

Предел вектор-функции имеет обычные свойства.

• Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
• Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
• Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции $𝐫(t)$ по параметру:

$\frac{d}{dt}𝐫(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{𝐫(t+h)-𝐫(t)}{h}$.

Если производная в точке $t$ существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут $x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)$.

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• $\frac{d}{dt}({𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)+{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t))=\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)}{dt}+\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)}{dt}$ — производная суммы есть сумма производных
• $\frac{d}{dt}(f(t)𝐫(t))=\frac{df(t)}{dt}𝐫(t)+f(t)\frac{d𝐫(t)}{dt}$ — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
• $\frac{d}{dt}({𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t){𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t))=\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)}{dt}{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)+{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)}{dt}$ — дифференцирование скалярного произведения.
• $\frac{d}{dt}[{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t){𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)]=[\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)}{dt}{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)]+[{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)}{dt}]$ — дифференцирование векторного произведения.
• $\frac{d}{dt}(𝐚(t),𝐛(t),𝐜(t))=(\frac{d𝐚(t)}{dt},𝐛(t),𝐜(t))+(𝐚(t),\frac{d𝐛(t)}{dt},𝐜(t))+(𝐚(t),𝐛(t),\frac{d𝐜(t)}{dt})$ — дифференцирование смешанного произведения.

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменных

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции $𝐫(u,v)$ (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение $𝐫=𝐫(u,v)$ имеет вид:

$x=x(u,v);y=y(u,v);z=z(u,v)$

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: $\frac{\partial 𝐫}{\partial u},\frac{\partial 𝐫}{\partial v}$. Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём $[\frac{\partial 𝐫}{\partial u},\frac{\partial 𝐫}{\partial v}]$ не обращается тождественно в ноль.

Координатная сетка на сфере

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

$u=u(t);v=v(t)$,

где t — параметр кривой. Зависимости $u(t),v(t)$ предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

$u=t;v=const$ — первая координатная линия.

$u=const;v=t$ — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек ($[\frac{\partial 𝐫}{\partial u},\frac{\partial 𝐫}{\partial v}]$ нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H

Шаблон:Векторы и матрицы