Контактное число

Контактное число (иногда число Ньютона, в химии соответствует координационному числу) — максимальное количество n-мерных шаров единичного радиуса, которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n-мерном евклидовом пространстве (предполагается, что шары не проникают друг в друга, то есть объём пересечения любых двух шаров равен нулю).

Следует отличать контактное число от контактного числа на решётке — аналогичного параметра для плотнейшей регулярной упаковки шаров. Вычисление контактного числа в общем случае до сих пор является нерешённой математической задачей.

История

В одномерном случае не более двух отрезков единичной длины могут касаться такого же отрезка:

В двумерном случае можно интерпретировать задачу как нахождение максимального числа монет, касающихся центральной. Из рисунка видно, что разместить можно до 6 монет:

Это значит, что $N(2)⩾6$. С другой стороны, каждая касающаяся окружность отсекает на центральной окружности дугу в 60°, и эти дуги не пересекаются, значит $N(2)⩽360/60=6$. Видно, что в данном случае оценки сверху и снизу совпали и $N(2)=6$.

Пример расположения 12 шаров

В трёхмерном случае речь идет о шарах. Здесь также легко построить пример с 12 шарами, касающимися центрального — они расположены в вершинах икосаэдра — поэтому $N(3)⩾12$. Данная нижняя оценка была известна ещё Ньютону.

Это расположение неплотное, между шарами будут довольно заметные зазоры. Оценка сверху стала причиной известного спора между Ньютоном и Д. Грегори в 1694 году. Ньютон утверждал, что $N(3)=12$, а Грегори возражал, что может быть можно расположить и 13 шаров. Он провёл вычисления и выяснил, что площадь центрального шара более чем в 14 раз больше площади проекции каждого из касающихся шаров, так что $N(3)⩽14$. Если позволить менять радиусы шаров на 2 %, то оказывается возможным прислонить до 14 шаров.

Лишь в 1953 году в статье Шютте и ван дер Вардена была окончательно установлена правота Ньютона, несмотря на отсутствие у того строгого доказательства.

В четырёхмерном случае представить себе шары достаточно сложно. Размещение 24 четырёхмерных сфер вокруг центральной было известно давно, оно столь же регулярное, как и в двумерном случае, и решает одновременно и задачу о контактном числе на решётке. Это то же размещение, что у целых единичных кватернионов.

В явном виде это расположение было указано в 1900 году Госсетом. Ещё раньше оно было найдено (в эквивалентной задаче) в 1872 году российскими математиками Коркиным и Золотарёвым. Это расположение дало оценку снизу $N(4)⩾24$.

Попытки оценить это число сверху привели к развитию тонких методов теории функций, но не давали точного результата. Сначала удалось доказать, что $N(4)⩽26$, потом удалось снизить верхнюю границу до $N(4)⩽25$. И наконец в 2003 году российскому математику Олегу Мусину удалось доказать, что $N(4)=24$.

В размерностях 8 и 24 точная оценка была получена в 1970-е годы. Доказательство основано на равенстве контактного числа и контактного числа на решётке в этих размерностях: решётки E8 (для размерности 8) и решётки Лича (для размерности 24).

Известные значения и оценки

Известные оценки контактных чисел в n-мерном пространстве.

В настоящее время точные значения контактных чисел известны только для $n\le 4$, а также для $n=8$ и $n=24$. Для некоторых других значений известны верхние и нижние оценки.

Размерность	Нижняя граница	Верхняя граница
1	2
2	6
3	12
4	24
5	40	44
6	72	78
7	126	134
8	240
9	306	364
10	510	554
11	592	870
12	840	1 357
13	1 154	2 069
14	1 932	3 183
15	2 564	4 866
16	4 320	7 355
17	5 346	11 072
18	7 398	16 572
19	10 688	24 812
20	17 400	36 764
21	27 720	54 584
22	49 896	82 340
23	93 150	124 416
24	196 560

Приложения

Задача имеет практическое применение в теории кодирования. В 1948 году Клод Шеннон опубликовал работу по теории информации, показывающую возможность передачи данных без ошибок в зашумленных каналах связи используя координаты упаковки единичных сфер в n-мерном пространстве. См. также Расстояние Хэмминга.

См. также

• Упаковка шаров
• Открытые математические проблемы

Ссылки

• Контактное число шаров и сферические коды. Математические этюды.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья