Ортотреугольник

Ортотреуго́льник (или ортоцентрический треугольник) — треугольник $\mathrm{△}abc$, вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника $\mathrm{△}ABC$. Для ортотреуго́льника $\mathrm{△}abc$ исходный треугольник $\mathrm{△}ABC$ является треугольником трёх внешних биссектрис. Точка пересечения высот исходного треугольника $\mathrm{△}ABC$ называется ортоцентром и является центром вписанной окружности ортотреуго́льника $\mathrm{△}abc$.

Свойства

• Задача Фаньяно: ортотреугольник остроугольного треугольника $\mathrm{△}ABC$ обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.
• Окружность девяти точек: окружность, описанная вокруг ортотреугольника остроугольного треугольника $\mathrm{△}ABC$, проходит через середины сторон треугольника Δ$ABC$ и через середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника $\mathrm{△}ABC$. Радиус этой окружности равен половине радиуса окружности, описанной вокруг треугольника Δ$ABC$.
• Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
• Стороны треугольника являются тремя внешними биссектрисами его ортотреугольника, таким образом треугольник является треугольником трёх внешних биссектрис своего ортотреугольника.
• Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
• Если точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ на сторонах соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ остроугольного треугольника Δ$ABC$ таковы, что $\mathrm{\angle }B{A}_1{C}_1=\mathrm{\angle }C{A}_1{B}_1$, $\mathrm{\angle }C{B}_1{A}_1=\mathrm{\angle }A{B}_1{C}_1$ и $\mathrm{\angle }A{C}_1{B}_1=\mathrm{\angle }B{C}_1{A}_1$, то $A_1{B}_1{C}_1$ — ортотреугольник треугольника $\mathrm{△}ABC$.
• Ортотреугольник треугольника Δ$ABC$ отсекает при вершинах $A$, $B$ и $C$ треугольники, подобные треугольнику Δ$ABC$ с коэффициентами подобия соответственно $|cos(\mathrm{\angle }A)|$, $|cos(\mathrm{\angle }B)|$, $|cos(\mathrm{\angle }C)|$.
• Окружности, описанные вокруг отсекаемых ортотреугольником треугольников, проходят через ортоцентр, и их центры лежат на серединах отрезков, соединяющих ортоцентр исходного треугольника с вершинами исходного треугольника.
• Если вокруг остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют тангенциальным треугольником по отношению к исходному треугольнику, и стороны которого параллельны сторонам ортотреугольника исходного треугольника.

Свойства подобия родственных треугольников

$\mathrm{△}{A}_1{B}_1{C}_1$ — ортотреугольник треугольника $\mathrm{△}ABC$, а $\mathrm{△}{A}_2{B}_2{C}_2$— треугольник Жергонна ортотреугольника. $H$— ортоцентр $\mathrm{△}ABC$, инцентр $\mathrm{△}{A}_1{B}_1{C}_1$и центр описанной окружности $\mathrm{△}{A}_2{B}_2{C}_2$. Треугольники $\mathrm{△}ABC$ и $\mathrm{△}{A}_2{B}_2{C}_2$ подобны.

• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
• Треугольник Жергонна ортотреугольника и исходный треугольник подобны (см. рисунок).
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников

• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Если точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, то получится треугольник Жергонна. Пусть в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Другие свойства

• Площадь ортотреугольника равна:

$S_{ort}=\frac{S}{(2abc{)}^2}(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)$

где $S$ — площадь треугольника ΔABC; $a,b,c$ — его соответствующие стороны.

• Окружность, описанная около ортотреугольника Δabc, для самого треугольника ΔABC является окружностью Эйлера (окружностью 9 точек), то есть одновременно проходит, через 3 основания медиан последнего. Заметим, что эти 3 основания медиан являются вершинами дополнительного треугольника для треугольника ΔABC.
• Радиусы окружности, описанной около данного треугольника ΔABC, проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ортотреугольника Δabc (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).

Литература

• Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.