Тангенциальное ускорение

Разложение ускорения $𝐚(t)$ на тангенциальное ${𝐚}_{\tau }$ и нормальное ${𝐚}_n$ ($\mathit{\tau }$ — единичный касательный вектор)

Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости, в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости.

Определяется как производная модуля скорости по времени, умноженная на единичный вектор $\tau$ вдоль скорости. Обозначается символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса тангенциальной компоненты: ${𝐚}_{\tau }$ или ${𝐚}_t$, ${𝐰}_{\tau }$, ${𝐮}_{\tau }$. Измеряется в м/с² (в системе СИ).

Величина $a_{\tau }$ равна проекции полного ускорения $𝐚$ на касательную в данной точке кривой, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Общая формула

Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

$a_{\tau }=\frac{dv}{dt}=\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}$,

где $v=dl/dt$ — путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение $\mathit{\tau }$, то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

${𝐚}_{\tau }=\frac{dv}{dt}\mathit{\tau }$.

Тангенциальное ускорение ${𝐚}_{\tau }$ параллельно вектору скорости $𝐯$ при ускоренном движении (положительная производная) и антипараллельно при замедленном (отрицательная производная).

Происхождение формулы

Разложение полного ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты осуществляется посредством дифференцирования по времени вектора скорости, представленного в виде $𝐯=v\mathit{\tau }$ через единичный вектор касательной $\mathit{\tau }$:

$𝐚=\frac{d𝐯}{dt}=\frac{d(v\mathit{\tau })}{dt}=\frac{dv}{dt}\mathit{\tau }+v\frac{d\mathit{\tau }}{dt}=\frac{dv}{dt}\mathit{\tau }+\frac{v^2}{R}𝐧$.

Первое слагаемое — тангенциальное ускорение ${𝐚}_{\mathit{\tau }}$, а второе — нормальное ускорение ${𝐚}_{𝐧}$ ($R$ и $𝐧$ — радиус кривизны и единичный вектор нормали к траектории в рассматриваемой точке).

Некоторые примеры

Пример 1

Скорость камня, сброшенного с высоты с начальной скоростью $v_0$, направленной горизонтально, до падения на землю будет изменяться как $\overrightarrow{v}=v_0\overrightarrow{i}-gt\overrightarrow{j}$, где $g$ — ускорение свободного падения. Модуль скорости составит $v=\sqrt{v_0^2+g^2{t}^2}$, а значит, тангенциальное ускорение по величине равняется $a_{\tau }=dv/dt=g^{2}t/\sqrt{v_0^2+g^2{t}^2}$. В начальный момент оно равно нулю, а при больших $t$ стремится к $g$. Можно записать тангенциальное ускорение и как вектор:

${\overrightarrow{a}}_{\tau }=a_{\tau }\overrightarrow{\tau }=a_{\tau }\cdot \frac{\overrightarrow{v}}{v}=a_{\tau }\cdot \frac{v_0\overrightarrow{i}-gt\overrightarrow{j}}{\sqrt{v_0^2+g^2{t}^2}}=\frac{v_0{g}^{2}t}{v_0^2+g^2{t}^2}\overrightarrow{i}-\frac{g^3{t}^2}{v_0^2+g^2{t}^2}\overrightarrow{j}$.

В этих выражениях $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ — единичные векторы в декартовых координатах.

Пример 2

Пусть радиус-вектор тела зависит от времени по закону $\overrightarrow{r}=r_0\sin (\omega t)\overrightarrow{i}+r_0\cos (\omega t)\overrightarrow{j}$.

В таком случае скорость тела найдётся как $\overrightarrow{v}=d\overrightarrow{r}/dt=r_0\omega \cos (\omega t)\overrightarrow{i}-r_0\omega \sin (\omega t)\overrightarrow{j}$. Соответственно, её модуль равен $v=\sqrt{r_0^2{\omega }^2{\cos }^2(\omega t)+r_0^2{\omega }^2{\sin }^2(\omega t)}=r_0\omega$ и является постоянной величиной. В результате получается, что тангенциальное ускорение — ноль:

$a_{\tau }=\frac{dv}{dt}=\frac{d(r_0\omega )}{dt}=0$.

Рассмотренная зависимость $\overrightarrow{r}(t)$ описывает равномерное движение по окружности радиусом $r_0$.

Равнопеременность

Движение тела с постоянным по величине тангенциальным ускорением называется равнопеременным. Слова «равнопеременное» ($a_{\tau }=$const) и «равноускоренное» ($\overrightarrow{a}=$const) не синонимичны. Взаимозаменяемыми данные термины становятся только применительно к прямолинейному движению. Тем не менее возможны определённые аналогии при рассмотрении обоих названных типов движения.

Шаблон:Rq Шаблон:ВС Шаблон:Механическое движение