Седловая точка

Седловая точка функции z=x²-y² (обозначена красным)

Седловая точка на карте высот (центр «восьмерки» образованной изолиниями)

Седловая точка в математическом анализе — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. Является точкой равновесия в чистых стратегиях. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма, между которыми находится высокий перевал, образуют седловую точку в вершине этого перевала: на карте высот это будет выглядеть как центр «восьмерки», образованной соответствующими изолиниями.

Седловая точка в математическом анализе

Проверить, является ли данная стационарная точка функции F(x,y) двух переменных седловой, можно, вычислив матрицу Гессе функции в этой точке: если гессиан будет неопределенной квадратичной формой, то данная точка — седловая. Например, составив матрицу Гессе функции $z=x^2-y^2$ в стационарной точке $(0,0)$ получим матрицу:

$\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right]$

которая является неопределенной. Поэтому, точка $(0,0)$ данной функции — седловая. Однако вышеприведенный критерий предоставляет только достаточное условие наличия седловой точки. Например, $(0,0)$ является седловой точкой функции $z=x^4-y^4$, но матрица Гессе в данном случае будет нулевой матрицей, которую, по определению, нельзя назвать неопределенной.

В общем случае, седловой точкой гладкой функции (график которой изображает кривую, поверхность или гиперповерхность) называется такая стационарная точка, в окрестности которой данная кривая/поверхность/гиперповерхность не лежит полностью по одну сторону касательного пространства в данной точке.

График y = x³ с седловой точкой в 0

В случае функции одной переменной, седловая точка — такая точка, которая одновременно является и стационарной точкой, и точкой перегиба (точка перегиба не является локальным экстремумом).

См. также

• Критическая точка (математика)
• Метод перевала
• Экстремум
• Особая точка (дифференциальные уравнения)
• Матрица (математика)

Литература

• Шаблон:Citation
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. — URSS, Пер. с нем., Изд.5, 2010. 344
• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
• Шаблон:Citation