Принцип Дюамеля

В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамеля (1797—1872), французского математика.

Дано неоднородное волновое уравнение:

$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=f(x,t)$

с начальными условиями

$u(x,0)=u_t(x,0)=0.$

Решение имеет вид:

$u(x,t)=\frac{1}{2c}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{x-c(t-s)}{\overset{x+c(t-s)}{\int }}f(\xi ,s)d\xi ds.$

Для линейного ОДУ с постоянными коэффициентами

Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путём нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля. Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:

$P({\partial }_t)u(t)=F(t)$

$\underset{t}{\overset{j}{\partial }}u(0)=0,0\le j\le m-1$

где

$P({\partial }_t):=a_m\underset{t}{\overset{m}{\partial }}+\cdots +a_1{\partial }_t+a_0,a_m\ne 0.$

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

$P({\partial }_t)G=0,\underset{t}{\overset{j}{\partial }}G(0)=0,0\le j\le m-2,\underset{t}{\overset{m-1}{\partial }}G(0)=1/a_m.$

Определим $H=G{\chi }_{[0,\mathrm{\infty })}$, ${\chi }_{[0,\mathrm{\infty })}$ - характеристическая функция на интервале $[0,\mathrm{\infty })$. Тогда

$P({\partial }_t)H=\delta$

есть обобщённая функция.

$u(t)=(H\ast F)(t)$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}G(\tau )F(t-\tau )d\tau$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}G(t-\tau )F(\tau )d\tau$

есть решение ОДУ.

Для уравнений в частных производных

Пусть есть неоднородное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:

$P({\partial }_t,D_x)u(t,x)=F(t,x)$

где

$D_x=\frac{1}{i}\frac{\partial }{\partial x}$

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

Сначала, используя Преобразование Фурье в x имеем

$P({\partial }_t,\xi )\hat{u}(t,\xi )=\hat{F}(t,\xi ).$

где $P({\partial }_t,\xi )$ это ОДУ порядка m по t. Пусть $a_m$ это коэффициент слагаемого наивысшего порядка в $P({\partial }_t,\xi )$.

Для каждого $\xi$ решим $G(t,\xi )$

$P({\partial }_t,\xi )G(t,\xi )=0,\underset{t}{\overset{j}{\partial }}G(0,\xi )=0\text{ for }0\le j\le m-2,\underset{t}{\overset{m-1}{\partial }}G(0,\xi )=1/a_m.$

Определим $H(t,\xi )=G(t,\xi ){\chi }_{[0,\mathrm{\infty })}(t)$. Тогда

$P({\partial }_t,\xi )H(t,\xi )=\delta (t)$

есть обобщённая функция.

$\hat{u}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast \hat{F}(\cdot ,\xi ))(t)$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )d\tau$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )d\tau$

есть решение уравнения (после перехода назад к x).