Алгебраическая независимость

Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей.

Пусть $L$ некоторое расширение поля $K$. Элементы $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена $P(x_1,\dots ,x_n)$ с коэффициентами из поля $K$

$P({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\ne 0$.

В другом случае элементы $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое его конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда $L$ — кольцо и $K$ — его подкольцо.

Алгебраическая независимость известных констант

Пусть константы $e$ и $\pi$ известны как трансцендентные, однако неизвестно, является ли их множество алгебраически независимым над $\mathbb{Q}$. Неизвестно даже, иррационально ли $\pi +e$. Нестеренко доказал в 1996 году, что:

• числа $\pi$, $e^{\pi }$ и $\mathrm{\Gamma }(1/4)$ алгебраически независимы над $\mathbb{Q}$;
• числа $e^{\pi \sqrt{3}}$ и $\mathrm{\Gamma }(1/3)$ алгебраически независимы над $\mathbb{Q}$;
• для всех положительных целых чисел $n$, число $e^{\pi \sqrt{n}}$ алгебраически независимы над $\mathbb{Q}$.

Пример

Подмножество $\{\sqrt{\pi };2\pi +1\}$ поля вещественных чисел $ℝ$ не является алгебраически независимым над полем $\mathbb{Q}$, поскольку многочлен $P(x_1,x_2)=2x_1^2-x_2+1$ является нетривиальным с рациональными коэффициентами и $P(\sqrt{\pi },2\pi +1)=0$.

См. также

• Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Ссылки

• Шаблон:MathWorld