Матрица Хессенберга

Матрицы Хессенберга — разновидность квадратных матриц, обобщающая треугольные матрицы. Названы в честь немецкого математика Шаблон:Iw.

Верхняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица $H\in {ℂ}^{n\times n},$ у которой все элементы лежащие ниже первой поддиагонали равны нулю, то есть $h_{ij}=0\mathrm{\forall }i>j+1.$

$H=\left(\begin{array}{ccccc}{h}_{11}& h_{12}& h_{13}& \cdots & h_{1n}\\ h_{21}& h_{22}& h_{23}& \cdots & h_{2n}\\ 0& h_{32}& h_{33}& \cdots & h_{3n}\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& h_{nn-1}& h_{nn}\end{array}\right)$

Аналогично определяется нижняя матрица Хессенберга, как квадратная матрица, при транспонировании которой получается верхняя матрица Хессенберга:

$H=\left(\begin{array}{ccccc}{h}_{11}& h_{12}& 0& \cdots & 0\\ h_{21}& h_{22}& h_{23}& \ddots & ⋮\\ h_{31}& h_{32}& h_{33}& \ddots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & h_{nn-1}\\ h_{n1}& h_{n2}& h_{n3}& \cdots & h_{nn}\end{array}\right)$

Матрица, являющаяся одновременно и верхней, и нижней матрицами Хессенберга, трёхдиагональна.

Матрицы Хессенберга получаются в методах подпространства Крылова в процессе построения ортогональных базисов, а также в задаче на нахождение собственных значений матрицы QR-методом.