Функции Йоста

Функции Йоста (решения Йоста, Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-en) — решения одномерного уравнения Шрёдингера для спадающего на бесконечности потенциала.

Математическое определение

Постановка задачи

Рассматривается одномерный оператор Шрёдингера вида

$H=-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+u(x),x\in ℝ,$

где потенциал $u(x)$ определен на множестве действительных чисел как функция, принадлежащая к классу локально интегрируемых. Соответствующая задача нахождения собственных чисел $\lambda =k^2$ будет иметь видШаблон:Sfn

$-\psi (x{)}^{″}+u(x)\psi (x)=k^2\psi (x).$

Определение

Наложим на потенциал условие в виде

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+|x|)|u(x)|\mathrm{d}x<\mathrm{\infty },$

означающее, что функция $u(x)$ спадает при $|x|\to \mathrm{\infty }$ быстрее, чем 1/x². Это означает, что для действительных k существуют решения одномерного уравнения Шрёдингера, однозначно определяемые асимптотиками на бесконечности

$f_1(x,k)=e^{-ikx}+o(1),x\to -\mathrm{\infty },$

$f_2(x,k)=e^{ikx}+o(1),x\to \mathrm{\infty },$

называемые решениями ЙостаШаблон:Sfn в честь швейцарского физика Реса Йоста.Шаблон:Sfn В общем случае (так же и для комплексных k) можно показать, что при заданном выше условии на $u(x)$, существует четыре решения одномерного уравнения Шрёдингера, удовлетворяющие интегральным уравнениям

$f_1(x,k)=e^{-ikx}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin k(\xi -x)}{k}u(\xi )f_1(\xi ,k)\mathrm{d}\xi ,$

$\overline{f_1}(x,k)=e^{-ikx}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin k(\xi -x)}{k}u(\xi )\overline{f_1}(\xi ,k)\mathrm{d}\xi ,$

$f_2(x,k)=e^{ikx}+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin k(\xi -x)}{k}u(\xi )f_2(\xi ,k)\mathrm{d}\xi ,$

$\overline{f_2}(x,k)=e^{ikx}+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin k(\xi -x)}{k}u(\xi )\overline{f_2}(\xi ,k)\mathrm{d}\xi ,$

где черта сверху означает комплексное сопряжение. При этом сами функции и их производные по x непрерывны по k при $\mathrm{I}mk\ge 0$ и аналитичны при $\mathrm{I}mk>0$ и эти решения единственные.Шаблон:Sfn Уравнения для функций Йоста можно получить непосредственно из граничных условий и уравнения Шрёдингера с помощью функции Грина в виде

$G(x,\xi ,k)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin k(\xi -x)}{k},& \xi <x\\ 0,& \xi >x\end{array},$

или непосредственной подстановкой.Шаблон:Sfn

Использование

Функции Йоста применяются в задачах рассеяния и теории солитонов.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Литература

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга
3. Шаблон:Книга
4. Шаблон:Книга
5. Шаблон:Книга