Безусловная сходимость

В математическом анализе, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ в банаховом пространстве X называется безусловно сходящимся, если для произвольной перестановки $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}$ является сходящимся.

Свойства

• Если ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ является безусловно сходящимся, то существует единственный элемент $x\in X,$ такой, что $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}=x,$ для произвольной перестановки $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}.$
• Произвольный абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся, но обратное утверждение является неверным. Однако, когда X = Rⁿ, тогда вследствие теоремы Римана, ряд $\sum x_n$ является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда он является абсолютно сходящимся.
• Если $\{x_n\}$ — последовательность элементов гильбертова пространства H, то из безусловной сходимости ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ следует $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert x_n{\Vert }^2<\mathrm{\infty }.$

Эквивалентные определения

Можно дать несколько эквивалентных определений безусловной сходимости: ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда:

• для произвольной последовательности $({\epsilon }_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, где ${\epsilon }_n\in \{-1,+1\}$, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }_n{x}_n$ является сходящимся.
• для произвольной последовательности $({\alpha }_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, такой, что $\underset{n}{\sup }|{\alpha }_n|<\mathrm{\infty }$, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n{x}_n$ является сходящимся.
• для произвольной последовательности $1\le k_1<k_2<\dots$, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{k_n}$ является сходящимся.
• для произвольного $\epsilon >0$ существует конечное подмножество $I\subset \mathbb{N},$ такое, что $\Vert \sum _{i\in J}{x}_i\Vert <\epsilon$ для произвольного конечного подмножества $J\subset \mathbb{N}\setminus I$

Пример

Пусть дано пространство $l^p,$ где $1<p<\mathrm{\infty }$ — банахово пространство числовых последовательностей с нормой $\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$. Рассмотрим в нём последовательность $x_n=(0,\dots ,\frac{1}{n},0,\dots ),$ где ненулевое значение стоит на n-м месте. Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ является безусловно сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.

См. также

• Абсолютная сходимость
• Условная сходимость

Ссылки

• Попов Михаил. Геометрия банаховых пространствШаблон:Недоступная ссылка
• Christopher Heil. A Basis Theory PrimerШаблон:Ref-en
• Шаблон:PlanetMath

Литература

• Банах С.С,, Курс функционального анализа (линейные операции)Шаблон:Недоступная ссылка, К.: Радянська Школа, 1948.
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533.
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650.
• P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .