Адиабатический инвариант

Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении некоторых параметров физической системы — таком, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе.

Возникновение термина

Адиабатический процесс первоначально означал процесс без теплообмена с окружающей средой. Название возникло от термина «адиабатическая оболочка»(Шаблон:Lang-grc — «непроходимый») — оболочка, не пропускающая тепло.

Но в середине XX века некоторые учёные (в частности, Л. Д. Ландау) стали так называть процесс, проходящий через практически равновесные состояния, то есть достаточно медленно и плавно. Сейчас такой процесс называют квазистатическим или равновесным. Исторически название «адиабатический инвариант» появилось по аналогии с таким термодинамическим процессом.

В настоящее время слово «адиабатический» снова используется в первоначальном значении («процесс без теплообмена со средой»), но термин «адиабатический инвариант» уже устоялся.

Классическая механика

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом $T$ и зависит от параметра $\lambda$, адиабатичность изменения параметра определяется условием

$T\frac{d\lambda }{dt}\ll \lambda$.

Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра

$\mathscr{H}=\mathscr{H}(q,p,t,\lambda )$

Внутренние переменные $q$ и $p$ меняются со временем быстро, с периодом $T$. Но энергия системы $E$ является интегралом движения при неизменном параметре $\lambda$. При изменении параметра во времени

$\frac{dE}{dt}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \lambda }\frac{d\lambda }{dt}$.

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр $\lambda$ неизменен.

$\overline{\frac{dE}{dt}}=\frac{d\lambda }{dt}\overline{\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \lambda }}$,

где усреднение определено как

$\overline{\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \lambda }}=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \lambda }dt$.

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной $q$:

$dt=\frac{dq}{\partial \mathscr{H}/\partial p}$.

В таком случае период $T$ равен

$T=\oint \frac{dq}{\partial \mathscr{H}/\partial p}$,

где интегрирование проводится вперёд и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс как функцию энергии $E$, координаты $q$ и параметра, после некоторых преобразований можно получить

$\oint (\frac{\partial p}{\partial E}\overline{\frac{\partial E}{\partial t}}+\frac{\partial p}{\partial \lambda }\frac{d\lambda }{dt})dq=0$.

Окончательно можно записать

$\overline{\frac{dI}{dt}}=0$,

где величина

$I=\frac{1}{2\pi }\oint pdq$

и будет адиабатическим инвариантом.

Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами $p$ и $q$. Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл $\oint pdq$ равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.

Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться

$I=\frac{1}{2\pi }\int dpdq$.

Пример. Гармонический осциллятор

Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{q}^2}{2}$,

где $\omega$ — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии $H(p,q)=E$ и поэтому имеет вид

$\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{q}^2}{2}=E$.

Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями $\sqrt{2mE}$ и $\sqrt{2E/m{\omega }^2}$, соответственно его площадь, делённая на $2\pi$, равна $\frac{E}{\omega }$. Таким образом, величина $I=\frac{E}{\omega }$ является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.

Свойства адиабатического инварианта

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделённому на $2\pi$.

$2\pi \frac{\partial I}{\partial E}=T$,

или

$\frac{\partial E}{\partial I}=\omega$,

где $\omega$ — циклическая частота.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Механика
• Шаблон:Книга