Переменные действие — угол

Переменные действие — угол — пара канонически сопряженных переменных классической механической системы, в которой роль импульса играет переменная действия — адиабатический инвариант.

Производящей функцией для канонического преобразования в новых переменных является функция

$S_0(q,E)=\int p(q,E)dq$,

где $E$ — энергия — однозначно связана с адиабатическим инвариантом $I$.

Канонически сопряженная к переменной действия угловая переменная $\omega$ определяется как

$\omega =\frac{\partial S_0(q,I)}{\partial I}$.

Уравнения движения в переменных «действие — угол» имеют очень простой вид:

$\dot{I}=0$,

$\dot{\omega }=\frac{dE}{dI}=\nu (I)$.

Таким образом, адиабатический инвариант $I$ является интегралом движения, а угловая переменная возрастает со временем по линейному закону. За один период угловая переменная увеличивается на $2\pi$. Переменные координата $q$ и импульс $p$ являются периодическими функциями угловой переменной.

Пример

Найдем переменные «действие — угол» для гармонического осциллятора

$E=\frac{1}{2}(p^2+{\omega }^2{q}^2)⟹p(E,q)=\pm \sqrt{2E-{\omega }^2{q}^2}$.

По определению

$I=\frac{1}{2\pi }\oint p(E,q)dq=\frac{1}{\pi }\underset{-\frac{\sqrt{2E}}{\omega }}{\overset{\frac{\sqrt{2E}}{\omega }}{\int }}\sqrt{2E-{\omega }^2{q}^2}dq=\frac{E}{\omega }$.

А значит, производящая функция канонического преобразования имеет вид

$S_0(I,q)=\omega {\int }^q\sqrt{\frac{2I}{\omega }-x^2}dx$

По определению переменной «угол»

$\theta =\frac{\partial S_0}{\partial I}={\int }^q\frac{dx}{\sqrt{\frac{2I}{\omega }-x^2}}=\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2I}{\omega }}}$

Координата $q$ и импульс $p$ выражаются тогда через переменные «действие — угол» следующим образом:

$q=\sqrt{\frac{2I}{\omega }}\sin \theta$.

$p=\frac{\partial S_0}{\partial q}=\omega \sqrt{\frac{2I}{\omega }-q^2}=\sqrt{2I\omega }\cos \theta$

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Суперинтегрируемая гамильтонова система