Аксиома бесконечности

Аксиомой бесконечности (Шаблон:Lang-en) называется следующее высказывание теории множеств:

$\mathrm{\exists }a(\varnothing \in a\wedge \mathrm{\forall }b(b\in a\to b\cup \{b\}\in a))$, где $b\cup \{b\}=\{c:c\in b\vee c=b\}$

Из аксиомы бесконечности следует существование [по меньшей мере одного] бесконечного множества.

Другие формулировки аксиомы бесконечности

$\mathrm{\exists }{a}_{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\exists }{a}_{\varnothing }(a_{\varnothing }\in a_{\mathrm{\infty }}\wedge \mathrm{\forall }b(b\notin a_{\varnothing }))\wedge \mathrm{\forall }b\mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }d(b\in a_{\mathrm{\infty }}\to (c\in a_{\mathrm{\infty }}\wedge (d\in c\leftrightarrow d\in b\vee d=b))))$

$\mathrm{\exists }{a}_{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\exists }{a}_{\varnothing }(a_{\varnothing }\in a_{\mathrm{\infty }}\wedge \mathrm{\forall }b(b\notin a_{\varnothing }))\wedge \mathrm{\forall }b\mathrm{\forall }c\mathrm{\exists }d(b\in a_{\mathrm{\infty }}\to ((d\in c\leftrightarrow d\in b\vee d=b)\to c\in a_{\mathrm{\infty }})))$

Примечания

0. Индуктивные высказывания

Примеры

$\mathrm{\exists }a(\varnothing \in a\wedge \mathrm{\forall }b(b\in a\to \{b\}\in a))$, где $\{b\}$ — множество, единственным элементом которого является $b$.

$\mathrm{\exists }a(\varnothing \in a\wedge \mathrm{\forall }b(b\in a\to 𝒫(b)\in a))$, где $𝒫(b)$ — булеан множества $b$

1. О выводимости аксиомы бесконечности из других высказываний

2. О единственности «бесконечного множества»

3. Прочее

См. также

• Аксиоматика теории множеств

• Математическая индукция

• Трансфинитная индукция

• Натуральные числа