Аксиома пары

Аксиомой [существования неупорядоченной] пары называется следующее высказывание теории множеств:

\forall a_{1} \forall a_{2} \exists c \forall b (b \in c \leftrightarrow b = a_{1} \lor b = a_{2})

А именно: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать [по меньшей мере одну] „неупорядоченную пару“, то есть такое множество $c$ , каждый элемент $b$ которого идентичен данному множеству $a_{1}$ или данному множеству $a_{2}$ .»

Другие формулировки аксиомы пары

$\forall a_{1} \forall a_{2} \exists c (c = {b : b = a_{1} \lor b = a_{2}})$

$\forall a_{1} \forall a_{2} \exists c \forall b (b \notin c \leftrightarrow b \neq a_{1} \land b \neq a_{2})$

$\forall a_{1} \forall a_{2} \exists c (a_{1} \in c \land a_{2} \in c \land \forall b (b \neq a_{1} \land b \neq a_{2} \to b \notin c))$

Примечания

1. Аксиому пары можно вывести из схемы преобразования

$\forall a \exists d \forall c (c \in d \leftrightarrow \exists b (b \in a \land c = f (b)))$ , если положить $a = 𝒫 (𝒫 (\emptyset))$ и выбрать функцию $f$ такой, что $c = f (b) \Leftrightarrow (b = \emptyset \to c = a_{1}) \land (b \neq \emptyset \to c = a_{2})$ .

2. Руководствуясь аксиомой объёмности можно доказать единственность [неупорядоченной] пары. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пары равносильна высказыванию

\forall a_{1} \forall a_{2} \exists! c \forall b (b \in c \leftrightarrow b = a_{1} \lor b = a_{2})

, что есть

\forall a_{1} \forall a_{2} \exists c \forall c^{'} (\forall b (b \in c^{'} \leftrightarrow b = a_{1} \lor b = a_{2}) \leftrightarrow c = c^{'})

Последнее высказывание позволяет утверждать следующее: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать только одну „неупорядоченную пару“, то есть такое множество $c$ , каждый элемент $b$ которого идентичен данному множеству $a_{1}$ или данному множеству $a_{2}$ .»

3. Из аксиомы пары можно вывести теорему о существовании одноэлементного множества: