Схема преобразования

Схемой преобразования [множеств] (Axiom schema of replacement) называется следующее высказывание теории множеств:

• $\mathrm{\forall }x{\mathrm{\exists }}^{\{1\}}y(\varphi [x,y])\to \mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in a\wedge \varphi [b,c]))$, где $\mathrm{\forall }x{\mathrm{\exists }}^{\{1\}}y(\varphi [x,y])\iff \mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }!y(\varphi [x,y])\iff \mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }{y}^{\prime }(\varphi [x,y]\leftrightarrow y=y^{\prime })$

Схему преобразования можно сформулировать по-русски, а именно: "Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество $d$, высказав функциональное суждение $\varphi$ обо всех элементах $b$ данного множества $a$."

Пример

В следующем примере функциональное суждение $y=x$ преобразует каждое множество $a$ в самого себя.

$\varphi [x,y]\leftrightarrow y=x\Rightarrow \mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in a\wedge c=b))\iff \mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow c\in a)$

Другие формулировки схемы преобразования

Схему преобразования записывают также в следующем виде:

• $\mathrm{\forall }a(\mathrm{\forall }b(b\in a\to {\mathrm{\exists }}^{\{1\}}y(\varphi [b,y]))\to \mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in a\wedge \varphi [b,c])))$

Примеры

1. В следующем примере функциональное суждение $y=2b^{\prime }$ преобразует множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ в множество чётных чисел $\{0,2,4,...\}$.

$\begin{array}{c}a=\mathbb{N}\wedge (\varphi [b^{\prime },y]\leftrightarrow y=2b^{\prime })\Rightarrow \mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in \mathbb{N}\wedge c=2b))\\ \iff \mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow c\in \{0,2,4,...\})\end{array}$

2. В следующем примере функциональное суждение $(b^{\prime }=0\to y=a_1)\wedge (b^{\prime }\ne 0\to y=a_2)$ преобразует множество вещественных чисел $ℝ$ в [неупорядоченную] пару $\{a_1,a_2\}$.

$\begin{array}{c}a=ℝ\wedge (\varphi [b^{\prime },y]\leftrightarrow (b^{\prime }=0\to y=a_1)\wedge (b^{\prime }\ne 0\to y=a_2))\Rightarrow \\ \mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in ℝ\wedge (b=0\to c=a_1)\wedge (b\ne 0\to c=a_2)))\\ \iff \mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow c=a_1\vee c=a_2)\end{array}$

3. В следующем примере функциональное суждение $(0\le b^{\prime }\le 1\to y=b^{\prime })\wedge (\mathrm{\neg }(0\le b^{\prime }\le 1)\to y=1)$ преобразует множество целых чисел $\mathbb{Z}$ в подмножество натуральных чисел $\{n:n\in \mathbb{N}\wedge n<2\}$.

$\begin{array}{c}a=\mathbb{Z}\wedge (\varphi [b^{\prime },y]\leftrightarrow (0\le b^{\prime }\le 1\to y=b^{\prime })\wedge (\mathrm{\neg }(0\le b^{\prime }\le 1)\to y=1))\Rightarrow \\ \mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in \mathbb{Z}\wedge (0\le b\le 1\to c=b)\wedge (b<0\vee b>1\to c=1)))\\ \iff \mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow c\in \{n:n\in \mathbb{N}\wedge n<2\})\end{array}$

Схему преобразования записывают также в следующем виде:

• $\mathrm{\forall }a(\mathrm{\forall }b(b\in a\to {\mathrm{\exists }}^{\{0,1\}}y(\varphi [b,y]))\to \mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in a\wedge \varphi [b,c])))$, где ${\mathrm{\exists }}^{\{0,1\}}y(\varphi [b,y])\iff \mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }{y}^{\prime }(\varphi [b,y]\wedge \varphi [b,y^{\prime }]\to y=y^{\prime })$

Фон Нейман доказал, что данная аксиома следует из аксиомы ограничения размера. Аксиома схемы преобразований может быть выражена как: если F является функцией, а A является множеством, то F(A) - это множество.

Примечания

1. Связь между схемой преобразования и аксиомой пары выражается следующим высказыванием:

• $\begin{array}{c}\mathrm{\forall }{a}_1\mathrm{\forall }{a}_2(a=𝒫(𝒫(\varnothing ))\wedge (\varphi [b^{\prime },y]\leftrightarrow (b^{\prime }=\varnothing \to y=a_1)\wedge (b^{\prime }\ne \varnothing \to y=a_2))\\ \to (\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in a\wedge \varphi [b,c]))\to \mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }b(b\in c\leftrightarrow b=a_1\vee b=a_2))),\end{array}$

где $𝒫(𝒫(\varnothing ))$ - булеан булеана пустого множества.

2. Связь между схемой преобразования и схемой выделения выражается следующим высказыванием:

• $\begin{array}{c}\mathrm{\forall }a(x\in \{b:b\in a\wedge \mathrm{\Phi }[b]\}\wedge (\varphi [b^{\prime },y]\leftrightarrow (\mathrm{\Phi }[b^{\prime }]\to y=b^{\prime })\wedge (\mathrm{\neg }\mathrm{\Phi }[b^{\prime }]\to y=x))\\ \to (\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }c(c\in d\leftrightarrow \mathrm{\exists }b(b\in a\wedge \varphi [b,c]))\leftrightarrow \mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }b(b\in c\leftrightarrow b\in a\wedge \mathrm{\Phi }[b])))\end{array}$

Историческая справка

Схема преобразования не вошла в совокупность аксиом теории множеств, сформулированных немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году.

Схема преобразования предложена Адольфом Френкелем в 1922 году, чуть позднее и независимо от него схема была предложена норвежским математиком Туральфом Скулемом.

См. также

• Аксиоматика теории множеств