Аксиома степени

Аксиома степени — аксиома теории множеств, согласно которой на основе любого множества можно образовать множество его подмножеств, то есть такое множество $d$, которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств $b$ данного множества $a$. В символьном виде эта аксиома записывается так:

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }b(b\in d\leftrightarrow \mathrm{\forall }c(c\in b\to c\in a))$

Аксиома степени задаёт тип множеств (подмножества множества $a$), которые должны быть элементами образуемого множества $d$. Вместе с тем она не указывает алгоритма нахождения всех элементов образуемого множества $d$.

Аксиому степени можно вывести из следующих высказываний:

• $\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }b(b\subseteq a\to b\in d)$

• $\mathrm{\forall }d\mathrm{\exists }c\mathrm{\forall }b(b\in c\leftrightarrow b\in d\wedge b\subseteq a)$

Первое из этих высказываний — одно из следствий аксиомы степени, а второе — одна из конкретизаций схемы выделения.

Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность множества всех подмножеств для каждого множества $a$. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома степени равносильна высказыванию

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }!d\mathrm{\forall }b(b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$, что есть $\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d(d=\{b:b\subseteq a\}\wedge \mathrm{\forall }{d}^{\prime }(d^{\prime }\ne d\to d^{\prime }\ne \{b:b\subseteq a\}))$.

Альтернативные формулировки аксиомы

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }b(b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$, где $b\subseteq a\iff \mathrm{\forall }c(c\in b\to c\in a)$

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d(d=\{b:b\subseteq a\})$

$\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }d\mathrm{\forall }b(b\notin d\leftrightarrow \mathrm{\exists }c(c\in b\wedge c\notin a))$

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Множество всех подмножеств