Алгоритм имитации отжига

Алгори́тм имита́ции о́тжига (Шаблон:Lang-en) — общий алгоритмический метод решения задачи глобальной оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. Один из примеров методов Монте-Карло.

Общее описание

Поиск глобального максимума методом имитации отжига. Стандартные градиентные методы (методы спуска) в данном случае неприменимы, поскольку имеется множество локальных максимумов. Со временем температура уменьшается.

Алгоритм основывается на имитации физического процесса, который происходит при кристаллизации вещества, в том числе при отжиге металлов. Предполагается, что атомы вещества уже почти выстроены в кристаллическую решётку, но ещё допустимы переходы отдельных атомов из одной ячейки в другую. Активность атомов тем больше, чем выше температура, которую постепенно понижают, что приводит к тому, что вероятность переходов в состояния с большей энергией уменьшается. Устойчивая кристаллическая решётка соответствует минимуму энергии атомов, поэтому атом либо переходит в состояние с меньшим уровнем энергии, либо остаётся на месте. (Этот алгоритм также называется алгоритмом Н. Метрополиса, по имени его автора).

Моделирование похожего процесса используется для решения задачи глобальной оптимизации, состоящей в нахождении такой точки или множества точек, на которых достигается минимум некоторой целевой функции $F(x)$ ("энергия системы"), где $x\in X$ ($x$ — "состояние системы", $X$ — множество всех состояний).

Алгоритм поиска минимума методом имитации отжига предполагает свободное задание:

• $x_0\in X$ — начального состояния системы;
• оператора $A(x,i):X\times \mathbb{N}\to X$, случайно генерирующего новое состояние системы после i-ого шага с учётом текущего состояния $x$ (этот оператор, с одной стороны, должен обеспечивать достаточно свободное случайное блуждание по пространству $X$, а с другой — работать в некоторой степени целенаправленно, обеспечивая быстроту поиска);
• $T_i>0$ — убывающей к нулю положительной последовательности, которая задаёт аналог понижающейся температуры в кристалле. Скорость остывания (закон убывания) также может задаваться (и варьироваться) произвольно, что придаёт алгоритму значительной гибкости.

Алгоритм генерирует процесс случайного блуждания по пространству состояний $X$. Решение ищется последовательным вычислением точек $x_0,x_1,x_2,\dots ,$ пространства $X$; каждая точка, начиная с $x_1$, «претендует» на то, чтобы лучше предыдущих приближать решение. На каждом шаге алгоритм (который описан ниже) вычисляет новую точку и понижает значение величины (изначально положительной), понимаемой как «температура».

Последовательность этих точек (состояний) получается следующим образом. К точке $x_i$ применяется оператор $A$, в результате чего получается точка-кандидат $x_i^{*}=A(x_i,i)$, для которой вычисляется соответствующее изменение "энергии" $\mathrm{\Delta }{F}_i=F(x_i^{*})-F(x_i)$. Если энергия понижается ($\mathrm{\Delta }{F}_i\le 0$), осуществляется переход системы в новое состояние: $x_{i+1}=x_i^{*}$. Если энергия повышается ($\mathrm{\Delta }{F}_i>0$), переход в новое состояние может осуществиться лишь с некоторой вероятностью, зависящей от величины повышения энергии и текущей температуры, в соответствии с законом распределения Гиббса:

$P(x_i^{*}\to x_{i+1}\mid x_i)=\exp (-\mathrm{\Delta }{F}_i/T_i)$

Если переход не произошёл, состояние системы остаётся прежним: $x_{i+1}=x_i$. Алгоритм останавливается по достижении точки, которая оказывается при температуре ноль.

Алгоритм имитации отжига похож на градиентный спуск, но за счёт случайности выбора промежуточной точки и возможности выбираться из локальных минимумов должен реже застревать в локальных, но не глобальных минимумах, чем градиентный спуск. Алгоритм имитации отжига не гарантирует нахождения минимума функции, однако при правильной настройке генерации случайной точки в пространстве $X$, как правило, происходит улучшение начального приближения.

Применение

• Обучение нейронных сетей
• Решение комбинаторных задач, например, задачи о расстановке ферзей
• Решение задачи коммивояжера

См. также

• Метод квантового отжига

Литература

• Шаблон:Книга — С. 146—148.
• Шаблон:Книга — С. 151—154.
• Шаблон:Книга — С. 25—42.

Ссылки

• Визуализатор применения метода отжига в задаче о расстановке ферзей.
• Метод глобальной минимизации (последовательный спуск по точкам локальных минимумов).
• Лекция по методу отжига