Аналогия Рейнольдса

Шаблон:Другие значения термина Аналогия Рейнольдса — аналогия между переносом тепла и трением.

Математическое описание

Рассмотрим уравнения движения и теплопереноса (при условии, что пользуемся приближением пограничного слоя и отсутствует градиент давления):

$\rho (u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=\mu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2},$

$\rho C_p(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y})=k\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}.$

Обезразмерим их соответственно множителями $1/{\rho }_{\mathrm{\infty }}{U}_{\mathrm{\infty }}l$ и $1/{\rho }_{\mathrm{\infty }}{C}_p{U}_{\mathrm{\infty }}l$, где l — характерный размер задачи:

$u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{\mathrm{R}\mathrm{e}}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2},$

$u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}=\frac{1}{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{P}\mathrm{r}}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}.$

Решив эти уравнения, получим выражения для нарастания динамического и теплового пограничных слоёв:

$\frac{\delta }{l}\sim \frac{1}{\sqrt{\mathrm{R}\mathrm{e}}},$

$\frac{{\delta }_T}{l}\sim \frac{1}{\sqrt{\mathrm{R}\mathrm{e}}\sqrt[3]{\mathrm{P}\mathrm{r}}}.$

Отсюда следует, что

$\frac{{\delta }_T}{\delta }=\frac{1}{\sqrt[3]{\mathrm{P}\mathrm{r}}}.$

Применительно к газам это соотношение указывает на отсутствие большой разницы между толщиной теплового и динамического пограничных слоёв. Полученные соотношения иногда также называют аналогией Рейнольдса, однако, их стоит рассмотреть глубже. Запишем безразмерный коэффициент трения в следующем виде:

$C_f=\frac{{\tau }_w}{\frac{1}{2}\rho U_{\mathrm{\infty }}^2}\sim \frac{1}{\sqrt{\mathrm{R}\mathrm{e}}},$

где ${\tau }_w=\mu \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)$ — местное касательное напряжение на стенке. Сопоставляя это соотношение с соотношениями для числа Нуссельта, получаем

$\mathrm{N}\mathrm{u}=\frac{1}{2}{C}_f\mathrm{R}\mathrm{e}\cdot f(\mathrm{P}\mathrm{r}).$

Это выражение и есть суть аналогии Рейнольдса.

В инженерной практике вместо числа Нуссельта часто используется число Стантона, величина которого также пропорциональна коэффициенту теплопередачи. Пользуясь теми же соотношениями, можно получить, что

$\mathrm{S}\mathrm{t}=\frac{C_f}{2}f(\mathrm{P}\mathrm{r}).$

Таким образом, можно сделать вывод о том, что без трения нет теплообмена. Для пластины поток тепла можно выразить следующей формулой:

$q=\frac{C_f}{2}{C}_p\rho U_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }T.$

Выводы

С ростом потока массы пропорционально возрастает величина теплового потока, однако сопротивление трения повышается пропорционально квадрату скорости, т. е. при такой интенсификации теплообмена его эффективность по отношению к гидравлическим потерям понижается.

Возрастает величина теплового потока при повышении плотности и теплоёмкости. Для реализации этого воздействия можно использовать вещества с высоким значением произведения $\rho C_p$ (вода, жидкие металлы), а также повышать давление газовой среды.

Наиболее распространенным способом интенсификации теплообмена является повышение коэффициента трения или общего гидравлического сопротивления теплообменного устройства. Для этого на поверхности, на которой происходит теплообмен, выполняются неровности и выступы.