Артинов модуль

Артинов модуль — модуль над кольцом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей. Символически, модуль $M$ артинов, если всякая последовательность его подмодулей:

$M_1\supset M_2\supset \dots \supset M_i\supset \dots$

стабилизируется, то есть начиная с некоторого $n$ выполнено:

$M_n=M_{n+1}=\dots$.

Это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей $M$ существует минимальный элемент.

Если $M$ — артинов, то любой его подмодуль и любой его фактормодуль артиновы. Обратно, если подмодуль $N\subset M$ и фактормодуль $M/N$ артиновы, то и сам модуль $M$ артинов.

Названы в честь Эмиля Артина, наряду с подобными общеалгебраическими структурами с условиями обрыва убывающих цепей (артинова группа, артиново кольцо), и двойственными «нётеровым» структурам с условием обрыва возрастающих цепей (нётеров модуль, нётерова группа, нётерово кольцо). В частности, ассоциативное кольцо $A$ с единичным элементом называется артиновым, если оно является артиновым $A$-модулем (удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для идеалов, для некоммутативного случая соответственно левых или правых).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга