Артиново кольцо

А́ртиново кольцо́ (по имени Э. Артина) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов $p_1\supset p_2\supset \dots \supset p_n\supset \dots$ стабилизируется, то есть начиная с некоторого $n$

$p_n=p_{n+1}=\dots$

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве идеалов A существует минимальный элемент. В случае некоммутативного кольца A различают левые артиновы и правые артиновы кольца: первые удовлетворяют условию убывающих цепей для левых идеалов, а вторые — для правых. В общем случае левое артиново кольцо не обязательно является правым артиновым.

Согласно теореме Артина — Веддербёрна, все простые артиновы кольца являются кольцами матриц над телом. В частности, простое кольцо является левым артиновым тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым.

Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение нётерова кольца. Несмотря на то, что условие обрыва убывающих цепей двойственно к условию обрыва возрастающих, на самом деле первое условие является более сильным. Согласно Шаблон:Не переведено 5 любое левое (соотв. правое) артиново кольцо является левым (соотв. правым) нётеровым.

Примеры

• Артинова область целостности является полем.
• Кольцо с конечным числом идеалов (в частности, конечное кольцо) является артиновым.
• Если I — ненулевой идеал в дедекиндовом кольце, то факторкольцо по I является артиновым кольцом главных идеалов.
• Для любого $n\ge 1$ полное кольцо матриц $M_n(R)$ над левым артиновым (соотв. левым нётеровым) кольцом R является левым артиновым (соотв. левым нётеровым).

Коммутативные артиновы кольца

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие условия эквивалентны:

• A артиново;
• A — конечное произведение артиновых локальных колец;
• Размерность A равна нулю;
• Спектр A является дискретным.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Шаблон:М:Мир, 1972
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — Шаблон:М:ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра. — Шаблон:М:Мир, 1968
• Шаблон:Книга