Размерность Крулля

Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.

Размерность Крулля позволяет сформулировать чисто алгебраическое определение размерности алгебраического многообразия: размерность аффинного алгебраического многообразия, заданного идеалом $I$ в кольце многочленов $R$ — это размерность Крулля факторкольца $R/I$.

Определение

Длина цепочки простых идеалов вида:

${𝔭}_0⊊{𝔭}_1⊊\dots ⊊{𝔭}_n$

принимается за $n$, то есть считается число строгих включений, а не число идеалов. Размерность Крулля кольца $R$ — это максимум длины по множеству всех цепочек простых идеалов $R$.

Для простого идеала $𝔭$ можно определить его коразмерность (также называют высотой или рангом), обозначаемую $\mathrm{codim}(𝔭)$, как максимальную длину цепочки простых идеалов вида ${𝔭}_0⊊{𝔭}_1⊊\dots ⊊{𝔭}_n\subseteq 𝔭$.

Примеры

• Размерность произвольного поля равна нулю, более общо, размерность кольца многочленов k[x₁, …, x_n] равна n. Более того, если R — нётерово кольцо, размерность которого равна n, то размерность кольца R[x] равна n+1. Без гипотезы нётеровости размерность R[x] может находиться в пределах от n+1 до 2n+1.
• Размерность любого кольца главных идеалов равна 1.
• Целостное кольцо является полем тогда и только тогда, когда его размерность равна нулю. Дедекиндовы кольца, не являющиеся полями, имеют размерность 1.
• Нётерово кольцо является артиновым тогда и только тогда, когда его размерность равна нулю.
• Целое расширение кольца имеет ту же размерность, что и исходное кольцо.
• Размерность Крулля кольца R равна размерности его спектра как топологического пространства, то есть максимальной длине цепочки неприводимых замкнутых подмножеств.

Размерность модуля

Если R — коммутативное кольцо и M — R-модуль, размерность Крулля M определяется как размерность Крулля факторкольца по аннулятору модуля:

${\dim }_{R}M:=\dim (R/{\mathrm{Ann}}_R(M))$

где Ann_R(M) — это ядро естественного отображения R → End_R(M) (сопоставляющего элементу кольца умножение на этот элемент).

Высота идеала

Высота простого идеала $𝔭$ коммутативного кольца $R$ — это супремум длин цепочекШаблон:Переход простых идеалов, содержащихся в $𝔭$. Например, высота простого идеала, не содержащего других простых идеалов, равна 0. Размерность Крулля кольца $R$ можно определить как супремум высоты по множеству простых идеалов.

В случае нётерова коммутативного кольца, согласно теореме Крулля, высота идеала, порождённого n элементами, не превосходит n.

Определение высоты можно распространить на произвольные идеалы, определив высоту идеала как минимум высот простых идеалов, содержащих данный идеал.

См. также

• Регулярное локальное кольцо
• Лемма Нётер о нормализации

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
• Irving Kaplansky, Commutative rings (revised ed.), University of Chicago Press, 1974, — ISBN 0-226-42454-5. Page 32.
• Шаблон:Citation