Регулярное локальное кольцо

Регулярное локальное кольцо — нётерово локальное кольцо, такое что число образующих его максимального идеала совпадает с размерностью Крулля. Название регулярное объясняется геометрическими причинами. Точка $x$ алгебраического многообразия $X$ является неособой (регулярной) тогда и только тогда, когда локальное кольцо ${𝒪}_{X,x}$ ростков рациональных функций в точке $x$ регулярно.

Эквивалентные определения

Существует несколько полезных определений регулярного локального кольца. В частности, если $A$ — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом $𝔪$, следующие определения эквивалентны:

• Пусть $𝔪=(a_1,\dots ,a_n)$ где $n$ выбрано настолько малым, насколько это возможно (в любом случае, n не может быть меньше размерности Крулля). $A$ регулярно, если

$\text{dim }A=n.$

• Пусть $k=A/𝔪$ — поле вычетов кольца $A$. Тогда $A$ регулярно, если

${\dim }_k𝔪/{𝔪}^2=\dim A$,

Здесь первая размерность — размерность векторного пространства, а вторая — размерность Крулля.

• Пусть $\text{gl dim }A$ — глобальная размерность $A$ (то есть супремум проективных размерностей всех $A$-модулей.) Тогда $A$ регулярно, если

$\text{gl dim }A<\mathrm{\infty }$,

в этом случае $\text{gl dim }A$ всегда совпадает с размерностью Крулля.

Примеры

• Любое поле — регулярное локальное кольцо. На самом деле, поля — это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
• Регулярные локальные кольца размерности 1 — это в точности кольца дискретного нормирования. В частности, кольцо формальных степенных рядов $k[[x]]$ (k — произвольное поле) является регулярным локальным кольцом. Другой пример — кольцо p-адических чисел.
• Более общо, кольцо формальных степенных рядов $k[[x_1,x_2,\cdots ,x_d]]$ — регулярное локальное кольцо размерности d.
• Если A — регулярное кольцо (см. определение ниже), то кольцо многочленов $A[x]$ и кольцо формальных степенных рядов $A[[x]]$ регулярны.
• Любая локализация регулярного кольца регулярна. Например, $\mathbb{Z}[x{]}_{(2,x)}$ — двумерное регулярное кольцо, не содержащее никакого поля.
• Шаблон:Не переведено 5 регулярного кольца регулярно.

Свойства

Теорема Аусландера — Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо факториально.

Если $(A,𝔪)$ — полное регулярное локальное кольцо, содержащее некоторое поле, то

$A\cong k[[x_1,\dots ,x_d]]$,

где $k=A/𝔪$, а $d$ — размерность Крулля.

Происхождение основных определений

Определение регулярного локального кольца было дано Вольфгангом Круллем в 1937 году, однако они стали известными благодаря работам Оскара Зарисского, который доказал что регулярные локальные кольца соответствуют гладким точкам алгебраических многообразий. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в n-мерном аффинном пространстве над совершенным полем, задающееся как множество общих нулей многочленов (от n переменных) f₁,…,f_m. Y является особым в точке P, если ранг матрицы Якоби (матрицы (∂f_i/∂x_j)) в этой точке ниже, чем в другой точке многообразия. Размерность многообразия равна разности n и ранга матрицы Якоби в неособой точке. Зарисский доказал, что матрица Якоби точка P неособая тогда и только тогда, когда локальное кольцо многообразия Y в P регулярно. (Зарисский также заметил, что это не обязательно верно над несовершенными полями.) Из этого следует, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное пространство. В 1950-х годах Аусландер и Бухсбаум доказали, что регулярное локальное кольцо факториально.

Многие свойства локальных колец оставались недоказанными до того времени, когда появились соответствующие техники гомологической алгебры. Жан-Пьер Серр нашёл описание регулярных локальных колец в гомологических терминах: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Нетрудно доказать, что свойство конечности глобальной размерности остаётся неизменным при локализации. Это позволяет определить регулярность для всех колец, не обязательно локальных: кольцо A называется регулярным, если его локализация по произвольному простому идеалу — регулярное локальное кольцо. Это эквивалентно утверждению, что A имеет конечную глобальную размерность. В частности, все дедекиндовы кольца регулярны.

Литература

• Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000 — ISBN 3-540-66641-9. Chapter IV.D.