Асимптотическая формула Вейля

Асимптотическая формула Вейля связывает объём риманова многообразия с асимптотическим поведением собственных значений его лапласиана.

История

Соотношение было получено Германом Вейлем в 1911 году. Изначально оно формулировалось только для областей евклидова пространства. В 1912 году он представил новое доказательство на основе вариационных методов.

Формулировка

Пусть $\mathrm{\Omega }$ — $d$-мерное риманово многообразие. Обозначим через $N(\lambda )$ число собственных значений (с учётом кратности), не превосходящих $\lambda$, для задачи Дирихле на $\mathrm{\Omega }$. Тогда

$N(\lambda )=\frac{{\omega }_d}{(2\pi {)}^d}\cdot \mathrm{vol}\mathrm{\Omega }\cdot {\lambda }^{d/2}+o({\lambda }^{d/2})$,

где ${\omega }_d$ обозначает объем единичного шара в $d$-мерном евклидовом пространстве.

Уточнения

Оценка на остаточный член была многократно улучшена.

• В 1922 г. Рихард Курант улучшил её до $O({\lambda }^{(d-1)/2}\log \lambda )$.
• В 1952 году Борис Левитан доказал более жесткое ограничение $O({\lambda }^{(d-1)/2})$ для замкнутых многообразий.
• Шаблон:Не переведено обобщил эту оценку, в частности, включил определенные евклидовы области, в 1978 году.

Предположительно, следующий член в асимптотике при ${\lambda }^{(d-1)/2}$ пропорционален площади границы $\mathrm{\Omega }$. С учётом этого члена, оценка на остаточный член должна быть $o({\lambda }^{(d-1)/2})$. В частности, при условии отсутствия границы оценка на остаточный член в формуле выше должна быть $o({\lambda }^{(d-1)/2})$.

• В 1975 году Шаблон:Не переведено и Шаблон:Не переведено доказали оценку $o({\lambda }^{(d-1)/2})$ при некоторых дополнительных условиях общего положения.
  • Последнее было обобщенно Виктором Иврием в 1980 году. Это обобщение предполагает, что множество периодических траекторий бильярда в $\mathrm{\Omega }$ имеет меру 0. Последнее, возможно, выполняется для всех ограниченных евклидовых областей с гладкими границами.