Атом Крэндолла

Атом Крэндолла — двухэлектронная задача, допускающая точное решение. Представляет собой электроны, движущиеся в гармоническом потенциале ядра при кулоновском отталкивании между ними. Рассмотрен в работе.

Определение

Используя атомные единицы, постоянная Планка $\hslash =1$, масса $m=1$, гамильтониан, определяющий атом Крэндолла запишется в виде

$\hat{H}=-\frac{1}{2}({\mathrm{\nabla }}_1^2+{\mathrm{\nabla }}_2^2)+\frac{{\omega }^2}{2}({\mathbf{\text{𝐫}}}_1^2+{\mathbf{\text{𝐫}}}_2^2)+\frac{\lambda }{({\mathbf{\text{𝐫}}}_1-{\mathbf{\text{𝐫}}}_2{)}^2}$

где r₁, r₂ — координаты для частиц с индексом 1 и 2, ω — чистота осциллятора, λ>0 — коэффициент электрон-электронного взаимодействия. Первые два слагаемых представляют собой операторы кинетической и потенциальной энергии для каждого электронов с индексами 1 и 2, а третье слагаемое — это электрон-электронный потенциал, который имеет силу обратную кубу расстояния между частицами.

Решение

Энергия состояния равна

$E_{n,l,m}^{n^{\prime },l^{\prime },m^{\prime }}=\frac{\omega }{2}(5+4n+4n^{\prime }+2l^{\prime }+\sqrt{1+4\lambda +4l(l+1)}),$

а волновые функции

${\psi }_{n,l,m}^{n^{\prime },l^{\prime },m^{\prime }}(u,v)=e^{-\frac{1}{2}\omega ({\mathbf{\text{𝐮}}}^2+{\mathbf{\text{𝐯}}}^2)}{u}^{\text{'}l}{v}^a{L}_{n^{\prime }}^{l^{\prime }+1/2}(\omega u^2)L_n^{a+1/2}(\omega v^2)Y_{l^{\prime },m^{\prime }}({\theta }_u,{\varphi }_u)Y_{l,m}({\theta }_v,{\varphi }_v),$

где $a=\frac{1}{2}(\sqrt{1+4\lambda +4l(l+1)}-1),$, L — полиномы Лагерра, Y — сферические гармоники, и новые координаты $\mathbf{\text{𝐮}}=({\mathbf{\text{𝐫}}}_1+{\mathbf{\text{𝐫}}}_2)/\sqrt{2},$ $\mathbf{\text{𝐯}}=({\mathbf{\text{𝐫}}}_1-{\mathbf{\text{𝐫}}}_2)/\sqrt{2}.$