Аттрактор Плыкина

Шаблон:Значения Аттрактор Плыкина — пример динамической системы на диске, максимальный аттрактор которой гиперболичен. В частности, этот пример структурно устойчив, как удовлетворяющий аксиоме A Смейла.

Конструкция

Аттрактор Плыкина строится как фактор диффеоморфизма тора, являющегося DA-диффеоморфизмом. А именно, диффеоморфизм Аносова $A = {(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})}^{3}$ тора $T^{2} = ℝ^{2} / ℤ^{2}$ сохраняет точки $(0, 0), (0, 1 / 2), (1 / 2, 0), (1 / 2, 1 / 2)$ , являющиеся неподвижными для отображения $I : x \mapsto - x$ . Более того, можно провести DA-конструкцию, построив коммутирующий с I диффеоморфизм f, для которого эти точки становятся отталкивающими, причём отображение в окрестности этих точек является чистой (растягивающей) гомотетией.

Фактор тора по действию инволюции $I$ — это двумерная сфера (а соответствующее накрытие — двулистное с ветвлением в четырёх точках), и коммутирующее с $I$ отображение $f$ спускается до диффеоморфизма сферы с четырьмя отталкивающими неподвижными точками. Перенос одной из них на бесконечность (позволяющий перейти к отображению диска в себя) заканчивает построение примера Плыкина.