Аффинная длина

Аффи́нная длина́ — параметр плоской кривой, который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях, сохраняющих площадь).

Определение

Для плоской кривой $\gamma :[a,b]\to {ℝ}^2$ аффинная длина вычисляется по формуле

$l=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|\dot{\gamma }(t)\times \ddot{\gamma }(t){|}^{1/3}dt,$

где $\times$ обозначает векторное произведение, а $\dot{\gamma }(t)$ и $\ddot{\gamma }(t)$ — первую и вторую производную.

Частные случаи

• Аффинная длина графика $y=f(x)$ функции $f$ задаётся как

  $l=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt[3]{|f^{″}(x)|}dx,$

• Для кривой $\gamma (s)$ с натуральным параметром и кривизной $\varkappa (s)$

  $l=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt[3]{|\varkappa (s)|}ds.$

Свойства

• Аффинная длина дуги параболы равна $2\sqrt[3]{S},$ где S есть площадь треугольника, образованного хордой дуги и касательными к параболе в концах дуги.
• Среди выпуклых замкнутых кривых с фиксированной аффинной длиной эллипсы (и только они) ограничивают наименьшую площадь.

Вариации и обобщения

Существуют также обобщения аффинной длины на случай пространственных кривых и для общей аффинной группы, а также других её подгрупп.

Литература

• Л. Фейеш Тот, Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, М., Физматлит, 1958. — 364 с.