Биортогонализация Ланцоша

Биортогонализация Ланцоша — в линейной алгебре процесс построения пары биортогональных базисов для двух подпространств Крылова

${𝒦}_m(v_1,A)=span\{v_1,A{v}_1,A^2{v}_1,...,A^{m-1}{v}_1\}$

и

${𝒦}_m(w_1,A^T)=span\{w_1,A^T{w}_1,(A^T{)}^2{w}_1,...,(A^T{)}^{m-1}{w}_1\}.$

Метод был предложен венгерским физиком и математиком Корнелием Ланцошем и является расширением процедуры ортогонализации Ланцоша на случай, когда матрица $A$ несимметрична.

Теоретическое обоснование метода

Определение. Системы векторов $\{x_i{\}}_{i=1}^m$ и $\{y_i{\}}_{i=1}^m$ называются биортогональными, если $\mathrm{\forall }i\ne j(x_i,y_j)=0.$

Замечание. Основным недостатком биортогонализации Ланцоша является возможность возникновения ситуации, когда $(v_i,w_i)=0;$ при этом продолжение процесса становится невозможным из-за неопределённости коэффициента ${\beta }_{i+1}.$

Алгоритм биортогонализации Ланцоша

1. Выбираем два вектора $v_1,w_1$, так чтобы $(v_1,w_1)=1.$
2. Полагаем ${\beta }_1={\delta }_1\equiv 0,w_0=v_0\equiv 0$
3. Для $j=1,2,...,m$ делать:
4. ${\alpha }_j=(A{v}_j,w_j)$
5. ${\hat{v}}_{j+1}=A{v}_j-{\alpha }_j{v}_j-{\beta }_j{v}_{j-1}$
6. ${\hat{w}}_{j+1}=A^T{w}_j-{\alpha }_j{w}_j-{\delta }_j{w}_{j-1}$
7. ${\delta }_{j+1}=𝒿({\hat{v}}_{j+1},{\hat{w}}_{j+1}){𝒿}^{1/2}$. Если ${\delta }_{j+1}=0,$ то СТОП
8. ${\beta }_{j+1}=({\hat{v}}_{j+1},{\hat{w}}_{j+1})/{\delta }_{j+1}$
9. $v_{j+1}={\hat{v}}_{j+1}/{\delta }_{j+1}$
10. $w_{j+1}={\hat{w}}_{j+1}/{\beta }_{j+1}$
11. Конец цикла по $j$.

Ссылки

• Методы решения СЛАУ большой размерности: Учебное пособие