Подпространство Крылова

В линейной алгебре подпростра́нством Крыло́ва размерности $m$, порождённым вектором $v\in {ℂ}^n$ и матрицей $A\in {ℂ}^{n\times n}$, называется линейное пространство

${𝒦}_m(v,A)=\mathrm{span}\{v,Av,A^{2}v,\mathrm{...},A^{m-1}v\}.$

Где span{...} означает линейную оболочку. Подпространство Крылова является подпространством векторного пространства над полем комплексных чисел: ${𝒦}_m\subset {ℂ}^n.$

Такие пространства были названы в честь русского прикладного математика и военно-морского инженера А. Н. Крылова, который опубликовал работу по этой проблеме в 1931 году.

Размерность подпространства Крылова

В силу конечномерности пространства ${ℂ}^n$ найдётся такое $p(0\le p\le n),$ что векторы $v,Av,A^{2}v,\mathrm{...},A^{p-1}v$ линейно-независимы, а $A^{p}v$ есть линейная комбинация этих векторов с коэффициентами ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\mathrm{...},{\gamma }_p:$

$A^{p}v=-{\gamma }_1{A}^{p-1}v-{\gamma }_2{A}^{p-2}v-\mathrm{...}-{\gamma }_{p}v$

Составим полином $\phi (\lambda )={\lambda }^p+{\gamma }_1{\lambda }^{p-1}+{\gamma }_2{\lambda }^{p-2}+\mathrm{...}+{\gamma }_p$ и получим:

$\phi (A)v=0.$

Полином $\phi (A)$ степени $p$ является минимальным многочленом вектора v относительно матрицы A.

Свойства подпространства Крылова

1. ${𝒦}_p$ инвариантно относительно $A$ и ${𝒦}_m={𝒦}_p$ для любого $m\ge p.$

2. $dim({𝒦}_m)=min\{m,p\}.$

Методы Крыловского типа

Алгоритмы, использующие подпространства Крылова, традиционно называют методами Крыловского типа. Они среди самых успешных методов, в настоящее время доступных по числовой линейной алгебре.

Современные итерационные методы поиска собственных значений и методы решения СЛАУ, ориентированные на матрицы больших размерностей, избегают матрично-матричных операций, и чаще умножают матрицу на векторы и работают с получившимися векторами:

${𝒦}_m(v,A)=\mathrm{span}\{v_1,v_2,v_3,\mathrm{...},v_m\},$

где

$v_1=v,v_2=A{v}_1,v_3=A{v}_2,\mathrm{...},v_m=A{v}_{m-1}$.

Самые известные методы подпространства Крылова — Метод Арнольди, Метод Ланцоша, Метод сопряжённых градиентов, GMRES, BiCG, BiCGSTAB, QMR, TFQMR и MinRES.

См. также

• Метод Крылова для нахождения характеристического многочлена матрицы.
• Проекционные методы решения СЛАУ
• Биортогонализация Ланцоша
• Iterative Template Library

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга