Бустрофедонное преобразование

Бустрофедонное преобразование — процедура, которая отображает одну последовательность в другую. Преобразованная последовательность вычисляется путём заполнения Шаблон:Не переведено 5 в манере бустрофедона (зигзага).

Определение

Бустрофедонное преобразование: Исходная последовательность показана синим цветом. Добавляем числа, как показано стрелками, считываем полученную последовательность с противоположных позиций в строках (последовательность показана красным цветом, $b_0=a_0$).

Если дана последовательность $(a_0,a_1,a_2,\dots )$, бустрофедонное преобразование даёт другую последовательность, $(b_0,b_1,b_2,\dots )$, которая строится путём заполнения треугольника как показано на рисунке справа. Нумерация строк в треугольнике начинается с 0 и строки заполняются последовательно. Пусть k означает номер заполняемой строки.

Если k нечётно, помещаем число $a_k$ в правую позицию строки и заполняем строку справа налево, записывая каждое новое значение как сумму чисел справа и справа выше. Если k чётно, записываем число $a_k$ в начале строки (слева) и заполняем строку слева направо, записывая каждое новое значение как сумму чисел слева и слева выше.

Если определить $b_0=a_0$, числа $b_k|k>0$, образующие результирующую последовательность, можно найти слева (в начале) нечётных строк и справа (в конце) чётных, то есть в противоположных позициях числам исходной последовательности $a_k$.

Рекуррентные отношения

Более формальное определение использует рекуррентную формулу. Определим числа $T_{k,n}$ (with $k⩾n⩾0$) следующим образом

$T_{k,0}=a_k$ для $k⩾0,$

$T_{k,n}=T_{k,n-1}+T_{k-1,k-n}$ для $k⩾n>0.$

Тогда результирующая последовательность определяется как $b_n=T_{n,n}$.

В случае a₀ = 1, a_n = 0 (n > 0) получающийся треугольник называется треугольником Зайделя — Энтрингера — Арнольда, а числа $T_{k,n}$ называются числами Энтрингера (Шаблон:OEIS). В этом случае числа результирующей последовательности b_n называются пилообразными (up/down) числами Эйлера. Это последовательность A000111 в «Энциклопедии целочисленных последовательностей». Последовательность содержит число чередующихся перестановок n букв и связана с числами Эйлера и числами Бернулли.

Экспоненциальная производящая функция

Экспоненциальная производящая функция последовательности (a_n) определяется как

$EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{x^n}{n!}.$

Экспоненциальная производящая функция бустрофедонного преобразования (b_n) связана с производящей функции исходной последовательности (a_n) формулой

$EG(b_n;x)=(\sec x+\tan x)EG(a_n;x).$

Экспоненциальная производящая функция последовательности единиц равна 1, так что пилообразные (up/down) числа равны sec x + tan x.

Литература

• Шаблон:Статья. Статья доступна также с небольшими изменениями как math.CO/0205218 на arXiv.
• Шаблон:Книга