Вариационный принцип Пфаффа

Вариационный принцип Пфаффа — принцип, согласно которому вариация интеграла линейной функции от производных по времени должна быть равна нулю. Имеет важное значение в теории динамических систем.

Рассмотрим $2m$ функций $X_j(x_1,...,x_{2m})$ от $2m$ переменных $x_1,...,x_{2m}$ и функцию $Z(x_1,...,x_{2m})$ от тех же переменных, ${\dot{x}}_j$ означает производную по времени переменной $x_j$. Вариационный принцип Пфаффа требует, чтобы вариация интеграла от линейной функции от производных ${\dot{x}}_j$ с коэффициентами $X_j,Z$ была равна нулю:Шаблон:Sfn

$\delta \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}[\sum _{j=1}^{2m}{X}_j(x_1,...,x_{2m}){\dot{x}}_j+Z(x_1,...,x_{2m})]dt=0$

Для того, чтобы вариационный принцип Пфаффа выполнялся, необходимо и достаточно, чтобы функции $X_j,Z$ удовлетворяли системе обыкновенных дифференциальных уравнений порядка $2m$ (уравнения Пфаффа):Шаблон:Sfn

$\sum _{j=1}^{2m}(\frac{\partial X_i}{\partial x_j}-\frac{\partial X_j}{\partial x_i})-\frac{\partial Z}{\partial x_i}=0,(i=1,...,2m)$

Уравнения Гамильтона могут быть получены, исходя из частного случая вариационного принципа Пфаффа:Шаблон:Sfn

$\delta \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}[\sum _{j=1}^m{P}_j{\dot{Q}}_j-H]dt=0$

См. также

• Принцип наименьшего действия

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга