Вариация поворота кривой

Кривая с вариацией поворота $6\cdot \pi$

Вариация поворота кривой — интеграл кривизны кривой по её длине.

Определение

Вариация поворота кривой $\gamma$ на плоскости или в пространстве определяется как точная верхняя грань суммы внешних углов вписанной в $\gamma$ ломаной.

В случае если кривая $\gamma$ замкнута, вписанная ломаная также предполагается замкнутой.

Замечания

• Если $\gamma :[a;b]\to {𝔼}^d$ гладкая кривая, параметризованная длиной, $\kappa (s)$ — её кривизна, то вариация поворота равна интегралу модуля кривизны:

  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|\kappa (s)|\cdot ds.$

• Вариация поворота гладкой регулярной кривой $\gamma :[a;b]\to {𝔼}^d$ можно также определить как длину её касательной индикатрисы; то есть кривой $\tau (s):[a;b]\to {𝕊}^{d-1}$ образованной единичными касательными векторами $\tau (s)=\frac{\dot{\gamma }(s)}{|\dot{\gamma }(s)|}$.

Свойства

• Теорема Фенхеля о повороте кривой: Вариация поворота любой замкнутой кривой не менее $2\cdot \pi$. Более того, в случае равенства кривая является плоской и выпуклой.
• Теорема Фари — Милнора о повороте узла: Вариация поворота любого узла больше $4\cdot \pi$.
• Неравенство ДНК. Если замкнутая плоская кривая лежит в выпуклой фигуре с периметром $2\cdot \pi$ то её длина не превосходит её вариацию поворота.
• Теорема Усова о геодезической: Вариация поворота геодезической на графике выпуклой функции $f:{ℝ}^2\to ℝ$ не превосходит её удвоенной константы Липшица.
• Угловая длина замкнутой кривой относительно произвольной точки не превосходит её вариации поворота.
• Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.

Вариации и обобщения

• Для плоских кривых, у кривизны можно определить знак и определить поворот кривой как интеграл кривизны с знаком. Теорема о повороте кривой является дифференциальногеометрическим аналогом теоремы о сумме углов многоугольника.

Литература

• Шаблон:Книга