Весовая матрица

В математике, весовая матрица $W$ порядка $n$ с весом $w$ — это $n\times n$ $(0,1,-1)$-матрица, такая что $W{W}^T=w{I}_n$, где $W^T$ — транспонирование матрицы $W$, а $I_n$ — единичная матрица порядка $n$. Весовую матрицу также называют весовой схемой.

Для удобства весовую матрицу порядка $n$ и веса $w$ часто обозначают $W(n,w)$.

$W(n,n-1)$ эквивалентна конференс-матрице, а $W(n,n)$ — матрице Адамара.

Свойства

Некоторые свойства следуют непосредственно из определения:

• Строки весовой матрицы попарно ортогональны. Аналогично для столбцов.
• Каждая строка и каждый столбец содержит в точности $w$ ненулевых элементов.
• $W^{T}W=wI$, так как из определения следует $W^{-1}=w^{-1}{W}^T$ (предполагается, что вес не равен 0).
• $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(W)=\pm w^{n/2}$, где $det(W)$ — определитель матрицы $W$.

Две весовые матрицы считаются эквивалентными, если одна может быть получена из другой, посредством ряда перестановок и умножений строк и столбцов исходной матрицы на минус единицу. Весовые матрицы полностью классифицированы для случаев, когда $w\le 5$, а также всех случаев, когда $n\le 15$. . За исключением этого, очень мало известно о классификации циркулянтных весовых матриц.

Примеры

Отметим, что при отображении весовых матрицы используется символ $-$ для −1.

Приведём два примера: $W_2$ является $W(2,2)$ весовой матрицей (матрицей Адамара), а $W_7$ — $W(7,4)$ весовой матрицей.

• $W_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -\end{array}\right)$
• $W_7=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& -& 0& 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& -& 0& -& 0& 1\\ 1& 0& 0& -& 0& -& -\\ 0& 1& -& 0& 0& 1& -\\ 0& 1& 0& -& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& -& -& 1& 0\end{array}\right)$

Открытые вопросы

Существует множество открытых вопросов о весовых матрицах. Главным из них является их существование: для каких чисел n и w существует W(n,w)? Многое в этом вопросе остаётся неизвестным. В равной степени важным, но часто неисследованным вопросом является их подсчёт: для заданных n и w, сколько существует матриц W(n,w)? Более глубоко, можно задаться вопросом классификации с точки зрения структуры, но на сегодняшний день это далеко выходит за рамки наших возможностей, даже для матриц Адамара или конференс-матриц.

Ссылки

• On Hotelling's Weighing Problem, Alexander M. Mood, Ann. Math. Statist. Volume 17, Number 4 (1946), 432-446.