Высота многочлена

Высота и длина многочлена P с комплексными коэффициентами — это величины, обозначающие «размер» многочлена.

Также эти термины используются по отношению к самим алгебраическим числам: высота и длина алгебраического числа — это высота и длина его минимального многочлена.

Определение

Для многочлена P степени n, заданного формулой

P = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n},

высота H(P) — это максимальная (по модулю) величина его коэффициентов:

H (P) = \max_{i} | a_{i} |,

а длина L(P) — это сумма модулей величин коэффициентов:

L (P) = \sum_{i = 0}^{n} | a_{i} | .

Мера Малера M(P) многочлена P также является мерой размера многочлена P. Три функции H(P), L(P) и M(P) связаны неравенствами

{(\binom{n}{⌊ n / 2 ⌋})}^{- 1} H (P) \leq M (P) \leq H (P) \sqrt{n + 1};

L (p) \leq 2^{n} M (p) \leq 2^{n} L (p);

H (p) \leq L (p) \leq n H (p)

,