Гамма-сходимость

Γ-сходимость (Гамма-сходимость) – концепция сходимости функционалов, возникающая в вариационном исчислении, а также при изучении дифференциальных уравнений в частных производных.

Определение

Пусть $X$ – топологическое пространство. Тогда последовательность функционалов  $F_n:X\to [0,+\mathrm{\infty })$ Γ-сходится к $F$, если

• Для любой последовательности $x_n\in X$, такой что $x_n\to x$ при $n\to \mathrm{\infty }$,

$F(x)\le \mathrm{lim\; inf}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{F}_n\left(x_n\right)$.

• Для любого $x\in X$ существует последовательность $x_n$, сходящаяся к $x$, такая что

$F(x)\ge \mathrm{lim\; sup}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{F}_n\left(x_n\right)$.

Первое условие означает что $F$ является асимптотической нижней гранью $F_n$. Второе условие означает что эта нижняя грань является точной.

Свойства

• Сходимость минимизирующих последовательностей: если $F_n$ Γ-сходится к $F$, и если $x_n$ является минимизирующей последовательностью $F_n$, тогда любая предельная точка последовательности $x_n$ является (локальным) минимумом $F$.
• Γ-предел всегда является слабо полунепрерывным снизу (а следовательно, и полунепрерывным снизу).
• Γ-сходимость стабильна относительно непрерывных возмущений: Если $F_n$ Γ-сходится к $F$, и если $G:X\to [0,+\mathrm{\infty })$ – непрерывна, тогда $F_n+G$ Γ-сходится к $F+G$.
• Постоянная последовательность $F_n=F$ не обязательно Γ-сходится к $F$. Тем не менее, она сходится к "релаксации" $F$ – к наибольшему полунепрерывному снизу функционалу, ограниченному сверху функционалом $F$.

Приложения

Одним из наиболее важных приложений $\mathrm{\Gamma }$-сходимости является теория упругости.