Геометрическое программирование

Геометрическое программирование — раздел математического программирования, изучающий подход к решению нелинейных задач оптимизации специальной структуры. Термин впервые ввели в 1967 году Р. Даффин, Э. Питерсон и К. Зенер. Название дисциплины связано с тем, что одним из основных в излагаемой теории является неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим и его обобщения. Предпосылкой к развитию ГП послужили некоторые геометрические задачи и методы их решения. Базовым понятием ГП является позином.

Формулировка задачи геометрического программирования

Найти минимальное значение функции $g_0(t)$ при ограничениях:

$t_1>0,t_2>0,...,t_m>0$

и

$g_1(t)⩽1,g_2(t)⩽1,...,g_p(t)⩽1,$.

Здесь

$g_k(t)=\sum _{i\in J[k]}{c}_i{t}_1^{a_{i1}}{t}_2^{a_{i2}}...t_m^{a_{im}},k=0,1,...,p$,

где

$J[k]=(m_k,m_k+1,m_k+2,...,n_k)k=0,1,...,p$

и

$m_0=1,m_1=n_0+1,m_2=n_1+1,...,m_p=n_{p-1}+1,n_p=p$.

Функции $g_k(t)$ - позиномы.

Пример задач из геометрического программирования

Пример 1

Найти длины сторон прямоугольника заданного периметра, имеющего наибольшую площадь. То же для треугольника.

Пример 2

$\prod _{i=1}^n{x}_i^{{\beta }_i}\to \max$

при ограничениях

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i=S,x_i>0,x_i\in ℝ,$

где ${\beta }_i>0,{\alpha }_i>0,{\beta }_i\in ℝ,{\alpha }_i\in ℝ,i=\overline{1,n},$

Решением задачи является вектор $x_{}^{*}$ с компонентами $x_i^{*}=\frac{{\beta }_{i}S}{{\alpha }_i\beta },$ где $\beta =\sum _{i=1}^n{\beta }_i.$

Связанные результаты

• Моном
• Позином

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга