Гиперциклический оператор

Пусть $X$ — топологическое векторное пространство (например, банахово пространство). Линейный непрерывный оператор $T:X\to X$ называется гиперциклическим, если существует элемент $x\in X$, такой что множество $\{T^{n}x,n=0,1,2,...\}$ плотно в $X$. Этот элемент $x$ называется гиперциклическим вектором для оператора $T$.

Понятие гиперцикличности является частным случаем более широкого понятия топологической транзитивности.

Примеры

Первый пример гиперциклического оператора получил Биркхоф в 1929 году.

В 1969 году Ролевич доказал, что гиперцикличен Шаблон:En2 в пространстве $l^2$, умноженный на константу $\lambda :|\lambda |>1$, переводящий последовательность $(a_1,a_2,a_3,\dots )\in l^2$ в последовательность $(\lambda a_2,\lambda a_3,\lambda a_4,\dots )\in l^2$.

В 1988 году Шаблон:En2 придумал пример оператора на банаховом пространстве $l^1$, такой, что все его ненулевые вектора гиперциклические. Это контрпример к известной Шаблон:En2 для банаховых пространств. Для гильбертовых пространств проблема остается открытой.

Ссылки

• K.-G. Grosse-Erdmann. Universal families and hypercyclic operators. Шаблон:Wayback
• Шаблон:Citation