Гипотеза Аго — Джуги

Гипо́теза А́го — Джу́ги — теоретико-числовая гипотеза о числах Бернулли $B_k$, согласно которой $p$ является простым числом тогда и только тогда, когда $p{B}_{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$.

Эквивалентные формулировки

Исторически первая формулировка гипотезы принадлежит итальянскому математику Джузеппе Джуге (1950), согласно которой $p$ является простым, если:

$\sum _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1{)}^{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$.

В этой формулировке простота числа $p$ достаточна для выполнения свойства, поскольку для простого $p$ малая теорема Ферма утверждает, что $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ для $a=1,2,\dots ,p-1$, откуда следует эквивалентность, поскольку $p-1\equiv -1(\mathrm{mod}p)$.

Современная формулировка со связью с числами Бернулли принадлежит японскому математику Такаси Аго (Takashi Agoh, 1990).

Текущее состояние

Утверждение остаётся гипотезой, поскольку не доказано, что если $n$ является составным, то формула не выполняется. Было показано, что составное число $n$ удовлетворяет формуле тогда и только тогда, когда оно является и числом Кармайкла и числом Джуги одновременно, и если такое число существует, оно содержит как минимум Шаблон:Nobr знаков. Laerte Sorini, наконец, в работе 2001 года показал, что возможным контрпримером к гипотезе должно быть число Шаблон:Math больше 10³⁶⁰⁶⁷, которое представляет предел, предполагаемый Бедокки для демонстрационного метода, указанного Джугой в его собственном предположении.

Взаимосвязь с теоремой Вильсона

Гипотеза Аго — Джуги внешне сходна с утверждением теоремы Вильсона, согласно которой $p$ является простым в том и только в том случае, когда $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$, что может быть записано как

$\prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

Ср. с утверждением гипотезы Аго — Джуги, которое формулируется как

$\sum _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Шаблон:Rq