Гипотеза Бреннана

Гипотеза Бреннана является математической гипотезой (в комплексном анализе) для оценки (при определённых условиях) интеграла степени модуля производной конформных отображений в открытый единичный диск. Гипотезу сформулировал Джеймс Бреннан в 1978 годуШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Пусть Шаблон:Mvar — односвязное открытое подмножество $ℂ$ как минимум с двумя граничными точками на полной плоскости комплексного пространства. Пусть $\phi$ — конформное отображение Шаблон:Mvar в открытый единичный диск. Гипотеза Бреннана утверждает, что

$\underset{W}{\int }|\phi {}^{\prime }{|}^p\mathrm{d}x\mathrm{d}y<\mathrm{\infty }$ при $4/3<p<4$.

Бреннан доказал результат при $4/3<p<p_0$ для некоторой константы $p_0>3$Шаблон:Sfn. Бертилсон доказал в 1999 году, что гипотеза верна при $4/3<p<3,422$, но гипотеза в целом остаётся открытойШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга