Гипотеза Гильбрайта

Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждающая, что если взять последовательность простых чисел и итерационно применять к ней разностный оператор, то получаемые на каждом шаге последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 году Норманом Гильбрайтом. Однако, ещё в 1878 году Шаблон:Нп1 публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным.

Истоки гипотезы

Рассмотрим последовательность простых чисел

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots$

Вычислим абсолютные значения разностей между каждой парой соседних членов и выпишем полученную последовательность:

$1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\dots$

Продолжая выполнять данную операцию для каждой новой полученной последовательности, будем получать следующее:

$1,0,2,2,2,2,2,2,4,\dots$

$1,2,0,0,0,0,0,2,\dots$

$1,2,0,0,0,0,2,\dots$

$1,2,0,0,0,2,\dots$

$1,2,0,0,2,\dots$

Видим, что первый элемент каждой последовательности равен $1$.

Гипотеза

Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим $\{p_n\}$ упорядоченную последовательность простых чисел $p_n$, и определим члены последовательности $\{d_n\}$ как

$d_n=p_{n+1}-p_n$,

где n — натуральное. Считаем также, что $\{d_n\}=\{d_n^1\}$ и для каждого натурального $k>1$, определим последовательность $\{d_n^k\}$ формулой

$d_n^k=|d_{n+1}^{k-1}-d_n^{k-1}|$.

(здесь $k$ — это не степень, а верхний индекс)

Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности $a_k=d_1^k$ равен $1$.

Проверка и попытки доказательства

На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, Шаблон:Нп1 привёл доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. Шаблон:Нп1 в 1993 проверил, что $d_1^k$ равно 1 для всех $k⩽n=3,4\cdot 10^{11}$, но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех $n$ рядов таблицы, Одлыжко вычислил 635 рядов и установил, что 635-й ряд начинается с 1 и далее вплоть до $n$-го элемента состоит только из чисел 0 и 2. Отсюда следует, что все последующие $n$ рядов начинаются с единицы.

Последовательности для простых чисел до 150

В таблице ниже нули выделены зелёным цветом, единицы — красным, двойки — синим, прочие числа — серым. Суть гипотезы состоит в том, что серая область никогда не достигнет красного столбца из единиц.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149
1	2	2	4	2	4	2	4	6	2	6	4	2	4	6	6	2	6	4	2	6	4	6	8	4	2	4	2	4	14	4	6	2	10
1	0	2	2	2	2	2	2	4	4	2	2	2	2	0	4	4	2	2	4	2	2	2	4	2	2	2	2	10	10	2	4	8
1	2	0	0	0	0	0	2	0	2	0	0	0	2	4	0	2	0	2	2	0	0	2	2	0	0	0	8	0	8	2	4
1	2	0	0	0	0	2	2	2	2	0	0	2	2	4	2	2	2	0	2	0	2	0	2	0	0	8	8	8	6	2
1	2	0	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	0	8	0	0	2	4
1	2	0	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	0	2	0	2	0	0	0	0	0	0	2	8	8	0	2	2
1	2	0	2	0	2	0	2	0	0	0	0	2	2	2	2	2	0	0	0	0	0	2	6	0	8	2	0
1	2	2	2	2	2	2	2	0	0	0	2	0	0	0	0	2	0	0	0	0	2	4	6	8	6	2
1	0	0	0	0	0	0	2	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	2	2	2	4
1	0	0	0	0	0	2	2	0	2	0	2	0	0	2	0	2	0	0	2	0	0	0	0	2
1	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	2	2	2	2	0	2	2	0	0	0	2
1	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	2	0	0	2
1	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	0	2	0	2	2	2	0	2
1	0	2	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	0	2	2	2	0	0	2	2
1	2	0	2	2	0	2	0	2	0	0	0	2	2	0	0	2	0	2	0
1	2	2	0	2	2	2	2	2	0	0	2	0	2	0	2	2	2	2
1	0	2	2	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	0	0
1	2	0	2	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	0	0
1	2	2	2	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	2	0
1	0	0	2	0	2	2	0	2	2	0	0	2	0	2
1	0	2	2	2	0	2	2	0	2	0	2	2	2
1	2	0	0	2	2	0	2	2	2	2	0	0
1	2	0	2	0	2	2	0	0	0	2	0
1	2	2	2	2	0	2	0	0	2	2
1	0	0	0	2	2	2	0	2	0
1	0	0	2	0	0	2	2	2
1	0	2	2	0	2	0	0
1	2	0	2	2	2	0
1	2	2	0	0	2
1	0	2	0	2
1	2	2	2
1	0	0
1	0
1

См. также

• Пробелы между простыми
• Открытые проблемы в теории чисел

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld