Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

Предыстория

Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения $a^2+b^2=c^2$, связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней $k>2$ уравнение $a^k+b^k=c^k$ не имеет решения в натуральных числах $a,b,c$.

В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнения

$\begin{array}{c}{a}^3+b^3=c^3\\ a^4+b^4+c^4=d^4\\ a^5+b^5+c^5+d^5=e^5\\ \dots \\ \sum _{k=1}^{n-1}{a}_k^n=a_n^n\end{array}$

не имеют решения в натуральных числах.

В 1966 году Леон Дж. Ландер (Шаблон:Lang-en) и Томас Р. Паркин (Шаблон:Lang-en) нашли для $k=5$ контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера:

$27^5+84^5+110^5+133^5=144^5.$

Для $k=4$ первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году. Наименьшее решение, найденное в том же году (Шаблон:Lang-en2) таково:

$414560^4+217519^4+95800^4=422481^4,$

Однако для $k=6$ гипотеза Эйлера остаётся открытой.

Гипотеза

В 1967 году Ландер, Паркин и Шаблон:Не переведено предположили, что уравнение

$\sum _{i=1}^m{x}_i^k=\sum _{i=1}^n{y}_i^k$

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если $k\le m+n$.

Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая $(k,2,1),k>3$ и отсутствие решений для $(3,2,1)$.

Поиск решений уравнений $(k,m,n)$ для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для $k=m+n$, но и для $k<m+n$. Поиском решений для различных $(k,m,n)$ занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet и yoyo@home.

Известные решения для (k, m, n), k = m + n

По состоянию Шаблон:На известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n:

(4, 2, 2)

$158^4+59^4=134^4+133^4$, бесконечно много решений.

(4, 1, 3)

$422481^4=414560^4+217519^4+95800^4$, бесконечно много решений.

(5, 1, 4)

$144^5=133^5+110^5+84^5+27^5$, известно 2 решения.

(5, 2, 3)

$14132^5+220^5=14068^5+6237^5+5027^5$, известно 1 решение.

(6, 3, 3)

$23^6+15^6+10^6=22^6+19^6+3^6$, бесконечно много решений.

(8, 3, 5)

$966^8+539^8+81^8=954^8+725^8+481^8+310^8+158^8$, известно 1 решение.

(8, 4, 4)

$3113^8+2012^8+1953^8+861^8=2823^8+2767^8+2557^8+1128^8$, известно 1 решение.

Некоторые решения для (k, k, 1)

k = 3

$3^3+4^3+5^3=6^3$ .

k = 4

$30^4+120^4+272^4+315^4=353^4$ (Шаблон:Lang-en2)

k = 5

$19^5+43^5+46^5+47^5+67^5=72^5$ (Шаблон:Lang-en2)

k = 6

Решения неизвестны.

k = 7

$127^7+258^7+266^7+413^7+430^7+439^7+525^7=568^7$ (Шаблон:Lang-en2)

k = 8

$90^8+223^8+478^8+524^8+748^8+1088^8+1190^8+1324^8=1409^8$ (Шаблон:Lang-en2)

k ≥ 9

Решения неизвестны.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• EulerNet Шаблон:Wayback
• Гипотеза Эйлера Шаблон:Wayback
• Equal Sums of Powers - Tables Шаблон:Wayback
• Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities Шаблон:Wayback
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Euler’s Conjecture at library.thinkquest.org
• Mathematicians Find New Solutions To An Ancient Puzzle Шаблон:Wayback