Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)

Шаблон:Значения Гипо́теза Хадвигера (комбинаторная геометрия) — гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что любое выпуклое тело в $n$-мерном евклидовом пространстве можно покрыть $2^n$-меньшими гомотетичными покрываемому телу теламиШаблон:Sfn, и что параллелипипеды являются единственными телами, которые можно покрыть лишь $2^n$-меньшими гомотетичными покрываемому телу телами. Справедливость этой гипотезы неизвестна для $n⩾3$.

История

Гипотеза была выдвинута Гуго Хадвигером в 1957 г. А.Ю. Левин и Ю.И. Петунин доказали, что для всякого $n$-мерного центрально-симметричного выпуклого тела справедливо неравенство $N⩽(n+1{)}^n$.Шаблон:Sfn В 1963 г. Роджерс получил для центрально-симметричных тел оценку $N⩽2^n(n\ln n+n\ln \ln n+5n)$Шаблон:Sfn

Формулировка в терминах задачи освещения

Можно показать, что наименьшее число гомотетичных исходному тел, необходимых для покрытия $n$-мерного выпуклого тела, равно наименьшему числу направлений, достаточных для полного освещения этого тела.Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга